Na Revista de Ensino de Ciências, n.° 14, p. 28, descrevi como meus alunos de 6.ª série, trabalhando com pequenos cartões coloridos, conseguiram chegar ao algoritmo da raiz quadrada.

Neste artigo descreverei como estes mesmos alunos de 6ª série, ainda brincando com os cartões (quadradinhos), descobriram como efetuar somas que, tradicionalmente, são abordadas apenas no estudo das progressões.

A soma dos primeiros números ímpares

A primeira atividade proposta (e já descrita na Revista de Ensino de Ciências) foi a seguinte:

"A partir de um quadrado unitário, formar quadrados maiores, acrescentando progressivamente outros quadrados unitários".

Sugeri que usassem cores alternadas. Pedi ainda que fizessem o controle da experiência, anotando as observações. Insisti para que se preocupassem em estabelecer relações a partir do experimento.

Os alunos chegaram às seguintes construções

e escreveram
                1            l  + 3 = 4 = 2²           1+3 + 5 = 9 = 3²            1  + 3 + 5 + 7=  16 = 4²

Deste modo descobriram que a soma dos  n  primeiros números ímpares é  n².

Retomando este resultado, perguntei à classe:

— Vocês já sabem que a soma dos n primeiros números ímpares é n². E a soma dos n primeiros números pares (sem contar o zero)!

Após alguma hesitação os alunos recorreram aos "quadradinhos". Não demorou para que construíssem a seguinte série de figuras.
 

—   O que observaram?

—   Dá sempre um retângulo... e um lado tem "um a mais" do que o outro.

—   É assim:

somando  2  números pares dá um retângulo  2 x 3,   isto é,   6; somando  3  números pares dá um retângulo  3 x 4,   isto é,   12. somando  4  números pares dá um retângulo  4 x 5,   isto é,  20.

—   E a soma dos  29  primeiros números pares?
Em coro, a classe respondeu:

—   Dá um retângulo  29 x 30,  dá ... 870.

Daí foi fácil ver que a soma dos n primeiros números pares é n(n + 1), fórmula que foi visualizada geometricamente.

Após alguns exercícios, perguntei à classe:

—  E quanto dá a soma dos h primeiros números naturais?
Olharam ... como que esperando mais informações. Expliquei:

—  Quanto dá, por exemplo,   1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100?

Aos poucos, nos diversos grupos, apareceram construções como esta ao lado:

Olharam... pensaram... ampliaram a figura... Precisavam de ajuda.

—  Vocês se lembram das propriedades da adição?

—  Comutativa...      Associativa...

—  Bem, acho que a comutativa pode ajudar.

Alguém fez esta construção:

e o grito de descoberta: — Dá para encaixar!

Foi fácil perceber que o encaixe deu um retângulo  6 x 5  e, portanto,

—  E se somarmos os 100 primeiros números naturais, quanto será a soma?

—  Pegando a soma   1   +  2  +  ...  +   100  e encaixando com a soma 100 + 99 + ... + 2 + 1  dá um retângulo de  100 por  101. — Os lápis deslizaram sobre os papéis e não tardou a resposta:   .

—  E se fossem os primeiros 345 números naturais, como vocês obteriam a soma?

—  345 x 346  dividido por  2  — vários disseram.

—  Por quê?

—  Dividi por  2 porque são  2 triângulos e no retângulo tem  2  somas iguais.

Alguém deu a seguinte sugestão:

—  Se soubermos quantos números ímpares e quantos números pares temos, podemos combinar as duas experiências.

—  Como assim?

—  Por exemplo: até o número  100 temos 50 pares e 50 ímpares; portanto, a soma até   100  será  50² + 50 x 51 = 2 500 + 2 550 = 5 050.

Entusiasmado com as descobertas, propus o seguinte:

— Se somarmos os números  63, 64, 65, ...  até o número   120,  quanto dá? Começaram a discutir dentro do grupo.

A primeira solução foi a seguinte:

a)  Calcularam a soma até   120:   120 x 121 2 = 7 260.

b)  Calcularam a soma até  62:   62 x 63 2 =  1 953.

c)  Fizeram a diferença entre os dois resultados:  7 260 1 953 = 5 307.

A segunda solução foi a seguinte:

a)  Calcularam a quantidade de números de 63 até 120:   120 63 + 1 = 58.

b)  Imaginaram a seguinte experiência:

Era o "encaixe" de 2 trapézios, dando um retângulo de 63 + 120 por 58.

c)  Multiplicaram   183 por 58:   183 x 58 =  10 614.

d)  Dividiram por  2:   10 614 2 = 5 307.

Acredito que poderia ter avançado mais ainda, mas parei aí — o tempo era exíguo para continuar.

Aqui fica assinalado o caminho para quem quiser aproveitar a experiência e, abaixo, o meu endereço para quem quiser conhecer mais sobre atividades com "quadradinhos".