Nelson Tunala
Rio de Janeiro - RJ

Consideremos o problema de determinar, com régua e compasso, as raízes da equação  x²+bx+c=0.

Suporemos c 0 porque, se c = 0, as raízes da equação são 0 e b.

1.° caso:   c > 0

Neste caso, as raízes  x₁  e  x₂  da equação têm o mesmo sinal e

|x₁| + |x₂| = |b|

|x₁| ^. |x₂| = c

O problema consiste em determinar dois segmentos de reta cuja soma seja   |b|   e cujo produto seja  c.

Construção

Tracemos uma reta  r e, sobre ela, marquemos os segmentos MN, NO e OP de comprimentos, respectivamente, c, 1 e |b|.

A seguir, tracemos duas semicircunferências tendo MQ  e OP como diâmetros.

Por N  levantemos a perpendicular s à reta r, determinando Q na semicircunferência de diâmetro MO .

Deste modo,  NQ² = MN . NO = c ^. 1 = c  e  NQ = .

Por Q tracemos a reta t, paralela a r, determinado U na semicircunferência de diâmetro OP. Por U, tracemos a reta v, perpendicular a r, determinado   G  em  r.

Os segmentos  OG  e GP  representam os valores absolutos das raízes da equação.

De fato, GU = NQ =   e  GU² = OG ^. GP = c. Temos OG e GP e além disto, por construção, | b | = OG + GP .

Então OG e GP são dois segmentos cuja soma é  | b |  e cujo produto é c.

Se  b < 0,  x₁ = OG  e  x₂ = GP  são as raízes.
Se  b < 0,  x₁ = OG  e  x₂ = GP são as raízes.

Observação: Se a reta t, suporte de , não interceptar a semicircunferência de diâmetro O mesmo ocorre, em particular, no caso degenerado  b = 0  (com c > 0).
 

Neste caso, as raízes têm sinais contrários e sendo x₁ a raiz de maior valor absoluto devemos ter

O problema consiste em determinar dois segmentos de reta, cuja diferença seja  | b |  e cujo produto seja  | c |.

Construção

Como no 1.° caso, determinaremos os pontos M, N, O e P numa reta r e o ponto  Q.   Temos, como antes,  NQ  = .

Translademos NQ numa direção paralela a s, obtendo o segmento OU. Liguemos  U ao centro I da circunferência, determinando o diâmetro GH .

Os segmentos  UH  e  UG  representam as raízes da equação.

De fato: UH   UG  =  GH =| b |  (diâmetro).

Por outro lado, por ser tangente e secante ao círculo de diâmetro  ,   temos:

Então  UH e UG são dois segmentos cuja diferença é  | b |  e cujo produto é  | c |

Observação. Neste caso, o problema sempre tem solução. Se b = 0, temos o caso degenerado em que I=O = G = H(p raio da circunferência de centro  I é zero) e as raízes são    UO   e   UO.

Bibliografia

Jorge, M., Álgebra — vol. 1, Nossa Editora, Rio, 1967.

Menezes, D. L. de, Abecedário da Álgebra — vol. 1, Imprensa Nacional, Rio, 1955.

 

Nelson Tunala é professor do Centro Tecnológico do Exér­cito, do Instituto Militar de Engenharia e do Departamento de Matemática da Faculdade Moacyr Bastos, todos no Rio de Janeiro.