Os casos clássicos de fatoração, estudados normalmente em Álgebra, na 7ª série, podem ser interpretados geometricamente. Eis o caso da diferença de quadrados:

A figura, em forma de L, é obtida extraindo-se o quadrado de lado y do quadrado de lado x. Sua área é, portanto, x² y². É claro que, neste contexto, x e y representam números reais positivos, com x > y. A alteração praticada na figura em forma de L conserva sua área e transforma-a num retângulo de lados  x + y  e x y.   Logo:  x² y² = (x + y)(x - y).

Certa vez, numa reunião de trabalho em que discutíamos o roteiro de uma aula do Telecurso, ocorreu-me o seguinte: x² + y² não é fatorável (lembrar que x e y estão representando números reais positivos); isto quer dizer, então, que não é possível construir um retângulo equivalente (mesma área) à figura formada pela justaposição de dois quadrados?

A conclusão pareceu-me errada. Algo estava esquisito. Sentia que deveria ser possível construir o tal retângulo. Mas, se fosse possível, então daria para fatorar  x² + y²? Havia erro? Onde?

Percebi, logo, que era fácil construir um retângulo equivalente à figura formada pela justaposição dos dois quadrados. Eis a solução:

1)    Dados os segmentos de reta de medidas x e y,  construímos o segmento
de medida  z  tal que  z² = x² + y².  (Ver a figura abaixo.)

2)    Construímos, agora, o segmento de medida  t tal que  t = z²

Uma vez que, num triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa é média geométrica entre as projeções dos catetos sobre a hipotenusa, resulta: z² = 1 ^. t,  isto é,  t = z².

3)    Finalmente, construímos o retângulo de lados 1 e t.

Sua área é 1 ^. t = t = z² = x² + y² igual, portanto, à soma das áreas dos quadrados de lados x e y.

Não é isso que se entende por fatoração de x² + y². Aí, então, compreendi o erro. A afirmação "x² + y² não é fatorável" não é equivalente à afirmação "não existe um retângulo de área igual a x² + y²".

Afirmar que x² + y² não é fatorável significa dizer que não existem os polinômios ax + by  e  cx + dy cujo produto seja x² + y². De fato, vamos provar que a identidade de polinômios x² + y² = (ax + by)(cx + dy) é impossível.

Temos:  x² + y² = acx² + bdy² + (ad + bc)xy , donde:

ac = 1               (1)

bd = 1              (2)

ad + bc = 0       (3)

Fica provado que x² + y² não é fatorável (lembre-se de que estamos raciocinando em R).