O objetivo principal de escrever e enviar este trabalho foi o de oferecer alguns "critérios" de divisibilidade fáceis, porém não mnemônicos. Acompanha o trabalho uma tabela que permitirá a qualquer aluno verificar, com facilidade, se um dado número é, ou não, divisível por um dado número primo (entre 7 e 100).

Concordo com a Prof. Carmen e com o Prof. Hermano (RPM 6, p. 21) quando afirmam que "um critério de divisibilidade só é útil quando for mais simples que a própria divisão"; portanto, fica a critério de cada um dos colegas aplicar esta sugestão em suas escolas.

*90, 80 e 90 foram colocados na tabela no lugar dos números menores 28, 33, 37, respectivamente, porque dão maior agilidade ao processo.
 

Dado um número n,  seja b seu algarismo das unidades e a o número formado pelos demais algarismos. Por exemplo, se n = 33684, a = 3368 e b = 4.

Então  n  será divisível por 7 se, e só se,   a + 5b  for divisível por 7.

A tabela anterior permite reformular esta regra para obter critérios de divisibilidade pelos números primos entre 7 e 100. Ela permite, ainda, o uso de dois "métodos" que chamei de aditivo e subtrativo.
 

Divisibilidade por 7

Ex.: 33684

Na tabela: forma aditiva (q + 5b), começando com b = 4 e a = 3368,

77 é múltiplo de 7, logo 33684 também é, assim como 378 e 3388.

Para tornar ainda mais prático o procedimento, faremos os cálculos em seqüência, separando mentalmente a ordem das unidades. Ilustraremos também a "forma subtrativa" (a - 2b), com o mesmo número 33684:

 Ao apresentar as duas formas a meus alunos, deixo à escolha a que lhes for mais conveniente. Porém a "forma subtrativa" tem como grande inconveniente o fato de que o aluno já deve estar familiarizado com operações no conjunto Z. Aqui no Rio de Janeiro, os critérios de divisibilidade são ensinados na 5ª série e operações com número inteiros na 6ª série, o que não ocorre na Proposta Curricular de São Paulo. Sigamos:

Divisibilidade por 11

Ex.: 3872

Divisibilidade por 13

Ex.: 28574 Forma aditiva:

Não pretendendo alongar-me em exemplos, darei mais dois critérios para  17 e para 19:

Da maneira como  a  e  b  foram definidos, tem-se

n = 10a + b

O processo se resume em achar um número k tal que n = 10a + b seja um múltiplo do número primo p se, e só se, m = a + kb for múltiplo de p. Ora, da identidade

n = 10m + (1 10k)b,

deduz-se que: Se  k  for tal que   1 10k:  seja divisível pelo número primo p, então:

i) se p ( 2 e , 5) dividir n, p dividirá m;

ii) reciprocamente, se p dividir  m, p dividirá n.

Para concluir que um número primo p, p 2 e p 5 é um divisor de n se, e somente se, ele for um divisor de m, podemos escolher k de modo que p  seja um divisor de   1 -  10k  e é este o "segredo" da tabela.

Ilustrando:

p = 7:     1 l0k   é divisível por 7 para  k = 5,  k = 2  (e para muitos outros valores de  k,   porém todos de valor absoluto maior). Daí, a forma aditiva  a + 5b e a subtrativa, a 2b, isto é, no exemplo apresentado:   n = 33684 é divisível por 7 m = 3388 é divisível por 7 m' = 378 é divisível por 7 m" = 11 é divisível por 7.

p = 11:   1 10k é divisível por 11 para  k = 10,   k =  1, etc. Daí a forma aditiva  a + 10b e a subtrativa,  a b.
 

Para o leitor familiarizado com congruências, "achar k de modo que p seja um divisor de 1 10k equivale a resolver a equação   10k: = 1 (mod p) que tem infinitas soluções para p e 10 primos entre si, sendo todos os valores de  k côngruos entre si, módulo p.

Bibliografia

[1] Petrofrezzo, A. J. & Byrkit, D. R. Introducción a Ia teoria de los números. Editorial Prentice/Hall   International, 1972.

[2] Niven, J. & Zuckerman, H. S. Introducción a Ia teoria de los números. Editorial Limusa, 1976.

[3] Peterson, J. A. & Hashisaki, J. Teoria de Ia Aritmética. Editorial Limusa. Wiley S.A., 1969.

[4] Táboas, C. M. G. & Ribeiro, H. S. RPM 6, p. 21, 1985.

[5] Dante, L. R. RPM 10, p. 33, 1987.

NR. Sobre critérios de divisibilidade, a RPM recebeu, também, um trabalho da autoria de Roberto Ribeiro Paterlini, da Universidade Federal de São Carlos. O trabalho do Professor Paterlini descreve o processo anterior e apresenta outros critérios de divisibilidade por números primos. Ilustraremos um deles através de dois exemplos, deixando para o leitor a tarefa de descobrir, "como e por que funciona".