Base Decimal ou Doudecimal?

Rubens Fonseca, de Belém, PA, escreveu-me o seguinte: "Li, certa vez, no livro "NÚMERO, A LINGUAGEM DA CIÊNCIA", que o melhor sistema de numeração seria o de base 12 e não o de base 10, como usamos".

"Caro Professor, por que a escolha de uma base tem influência? Sei que para computadores é melhor um sistema binário. E outras bases como 3, 4, 5, etc? Não se aplicam a nada? Se o sistema de base 12 é melhor que o de 10, será que, se por acaso, algum BOURBAKI do ano 2000 resolvesse mudar a base, a Matemática, como um todo continuaria como está? Ou sofreria pequenas ou grandes modificações?"

O número 10 foi escolhido como base do sistema de numeração porque o homem tem dez dedos nas mãos e por isso acostumou-se a contar em dezenas.

Na realidade, algumas civilizações antes da nossa utilizaram outros números como base. Os babilônios adotavam o sistema sexagesimal, do qual nos restam ainda hoje o minuto e o segundo (tanto para medir o tempo como os ângulos). Evidentemente, decorar uma tabuada de 59 por 59 é uma tarefa difícil. Assim, o sistema não prevaleceu.

Os maias, na América Central, adotavam o sistema de base 20. Como os babilônios, eles utilizavam a notação posicionai para a escrita dos números (um símbolo à esquerda do outro vale 20 vezes mais do que aquele outro). Ao contrário dos babilônios, cuja escrita de números era um tanto ambígua, por não usarem sistematicamente um algarismo zero, os maias possuíam um símbolo especial para significar a falta de unidades de uma certa ordem vigesimal. Ao que se sabe, os maias foram o primeiro povo a adotar o algarismo zero, que tinha a forma de um olho. Sua escolha da base 20, certamente, é devido ao fato de que usavam os dedos das mãos e dos pés para contar (e viviam descalços).

O sistema de numeração decimal foi introduzido pelos hindus. O mais antigo livro que se conhece contendo uma apresentação completa e bem organizada desse sistema é o tratado de Aritmética, conhecido como Lilavati, escrito por Bhaskara no início do século 12, embora fontes históricas indiquem que os hindus já utilizavam o sistema decimal desde o século 8.

Os árabes, que mantinham intensas relações comerciais com os hindus, adotaram rapidamente seu sistema aritmético, ainda no século 8, e o utilizaram em algumas obras como a notável Álgebra de Alkhowarism, por intermédio da qual o sistema decimal foi introduzido na Europa. Por isso os algarismos que usamos hoje são chamados arábicos e não hindus. (O próprio nome "algarismo" vem de Alkhowarism.)

A Aritmética decimal pegou e é usada até hoje, no mundo inteiro. Outras bases, diferentes de 10, podem ser úteis para certos problemas específicos. Por exemplo, a base 2 tem a vantagem notável de requerer apenas dois símbolos 0 e 1. Por isso ela pode ser utilizada por um ser tão pouco inteligente como um computador, capaz, apenas, de distinguir se um determinado circuito está aberto (1) ou fechado (0). Por outro lado, a base 2 tem a desvantagem de que a representação de um número requer uma quantidade muito grande de algarismos. (Por exemplo, 31 tem cinco algarismos na base 2.) A base 3 é útil em Topologia para representar os elementos do chamado "conjunto ternário de Cantor". Mas, em geral, a base 10 veio para ficar, apesar de algumas inconveniências apontadas por certos perfeccionistas.

A principal acusação feita ao número 10, como base de um sistema de numeração, reside no fato de que ele possui apenas dois divisores próprios, 2 e 5, enquanto 12 possui os divisores próprios 2, 3, 4 e 6. Se a base fosse 12, seriam necessários dois algarismos novos, para representar os números 10 e 11, mas, em compensação, as frações 1/2, 1/3, 1/4, 1/6, 1/8 e 1/9 seriam todas duodecimais exatas. Por exemplo, 1/3 = 0,4 e 1/6 = 0,2, enquanto 1/9 = 0,16 na base doze. (Em compensação, 1/5 = 0,24972497... na base doze.)

De vez em quando, algumas pessoas propõem que se adote 12 como base do sistema de numeração, mas uma tal proposta não tem a mínima possibilidade de ser adotada. A civilização já se condicionou ao sistema decimal. De duodecimal, bastam-nos os meses do ano, as horas do dia e as dúzias de ovos que compramos no mercado.

Quanto à questão de saber quais as conseqüências da adoção de uma base diferente de 10, posso assegurar tranqüilamente que elas seriam de ordem prática ou social, mas não científica. A Matemática nunca se comprometeu com base alguma. Seus resultados fundamentais não dependem da base em que os números são escritos. As coisas práticas que mudariam, além das "duodízimas" já mencionadas, seriam a tabuada e os chamados "critérios de divisibilidade". Por exemplo, um número n, escrito na base doze, é divisível por 2, 3, 4 ou 6 se, e somente se, seu algarismo das unidades é divisível por 2, 3, 4   ou   6,   respectivamente.