Ponto de encontro

— Desculpem-nos a falha

Escreve-nos Miguel Carmo, do Dept. de Matemática, UFC, Fortaleza, CE.

"Tentando resolver o Probleminha 1 da RPM 9, p. 51, enviado pelo nosso colega Lucien Jean Thys, observei que o mesmo tem infinitas soluções, ao invés de uma única solução, como sugere o seu enunciado^(*): "Qual é o (menor) número que dividido por 2, 3, 4, 5 e 6 tem para resto, respectivamente, 1, 2, 3, 4 e 5?

De fato, como mmc(2, 3, 4, 5, 6) = 60, qualquer número da forma a_k = k ^. 60 1 é solução do probleminha.

Na verdade, há um resultado mais geral:

Teoreminha. Se n_l, n₂, ..., n_p forem inteiros positivos e m o seu mínimo múltiplo comum, então o resto da divisão de km 1 por n_i  é n_i 1,  1 i p.

Prova. nj\m, então, n^km, logo, n,|(fcm - n,), daí, km - rc, = qn_h portanto, km = qn_t + n, e, finalmente, km -  1 = íjtj, + (n, - 1). ■

Em homenagem ao colega Lucien Jean Thys, que nos deu a motivação, faremos uma aplicação do Teoreminha:

Como são 14 o número de letras que formam o nome do colega, determinaremos todos os números que divididos por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 e 15 têm para resto, respectivamente, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 e 14.

Sabemos que mmc(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15) = 360 360.

Daí, os números procurados são os da forma 360 360k 1.

PS. Tomei a liberdade de redigir esta pretensa colaboração no intuito de motivar outros colegas, leitores desta excelente RPM, para que, lendo com mais acuidade esta Revista, venham, no futuro, a ter um  'teoremão'  publicado na RPM."
 

—  Outra solução para o problema 46(RPM 9, p. 50 e RPM 10, p. 56). Novamente, recebemos notícia do colega Lucien Jean Thys, de Porto Alegre, RS. Ele prova que garante que 2⁹⁹⁹⁹⁸ = (3 1)⁹⁹⁹⁹⁸  é um múltiplo de 3, mais 1.
 

—   Sobre PA e PG

Ainda o colega Lucien, tendo lido o artigo de Márcio C. Goulart (RPM 10, p. 48)' lembrou-se de dois fatos ocorridos em sua vida.

O primeiro, com um mestre seu que, tendo desenvolvido o estudo das Progressões Aritméticas, deu por encerrado o capítulo, com a seguinte notícia: "existe, também, uma outra Progressão, a Geométrica. Promovam, no que foi visto, as operações à ordem imediatamente superior (+ vai a x , x a potência e a raiz) e vocês terão as novas fórmulas". Os estudantes concluíram que
 

Não conseguiram, entretanto, achar a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica! O segundo fato aconteceu quando, já professor, perante uma classe do 3? científico (hoje, 2º grau) o colega anuncia a revisão do estudo das progressões aritmética e geométrica. Dois de seus alunos iniciam uma discussão entre si, dizendo, um ao outro, que eles não haviam estudado isto antes. O professor entra na conversa e diz não ser possível, pois o tema era parte do programa do 1? ano. Foi aí que um estudante diz: — Ah! São as tais PA e PG? Isto nós vimos sim.

—   Ainda em relação às Progressões, o colega João Calixto Garcia, de Cerquilho, SP, observando esse mesmo fenômeno, explorado pelo mestre do colega Lucien, na passagem das Aritméticas para as Geométricas, aventura-se mais um passo, construindo a que ele denomina de Progressão Potencial (PP).

Assim, uma PP, de razão s e primeiro termo a > 0, é uma seqüência de números reais, em que
 

E, desta maneira, ele obtém expressões para o termo geral, para a razão, para o produto dos termos de uma PP (incluindo a expressão análoga para o limite), etc. Diz, também, que não conseguiu uma expressão simplificada para a soma dos termos de uma PP.

RPM. O colega tocou num ponto importante e sensível. Por que, no decorrer dos anos, convivem a PA e a PG e nunca se deu um nome especial à PP? Justamente porque, na passagem da PA à PG, foi possível obter uma nova expressão (a do cálculo da soma dos termos de uma PG) que não era "herdada" daquelas já conhecidas para a PA, enquanto, no passo seguinte, que seria passar da PG à PP, não surge nada de novo.

—   Sobre o cálculo aproximado de

Sobre a contribuição de José Aí. de Azevedo Neto (RPM 9, p. 10), escreve-nos o colega Unas Echterhoff Takatohi, de São Paulo, SP, comentando que o caso do cálculo aproximado de t por meio do lançamento de uma agulha sobre o assoalho com tábuas paralelas é algo "misterioso" para alunos do 2? grau.

Sendo a o comprimento da agulha b a distância entre as linhas paralelas, a probabilidade de a agulha cortar uma linha depende do ângulo 6 formado pela agulha caída e as linhas:

Quanto à experiência do lançamento da moedinha no quadrado com um círculo inscrito, o colega Urias acha que a explicação, por meio do quociente entre as áreas, é mais razoável para o estudante do 2º grau. Sugere, entretanto, que se considere um mosaico extenso, formado por tais quadrados, para evitar os casos em que a moeda caia fora do desenho. Deixa também o desafio para que os estudantes façam experiências com outros tipos de mosaicos, por exemplo com círculos inscritos em triângulos equiláteros ou em hexágonos regulares. Será preciso, então, adaptar as fórmulas.

— Ainda em foco o número

Sobre as frases publicadas na RPM 10, p. 6, para memorização dos primeiros algarismos do desenvolvimento decimal de ir, escrevem os colegas José Lauhvan da Costa, de Fortaleza, CE e Olkney Rosas Filho, de Belo Horizonte, MG, citando o livro de Malba Tahan, As maravilhas da Matemática, como fonte da frase "Sou o medo e temor...". Esta e outras são, nessa obra, atribuídas ao escritor e acadêmico Modesto de Abreu.

Quanto à frase "Ama a Deus...", o colega José Valdemes C. Brito, de Novo Gama, GO, informa que está publicada num livro do 1? grau, datado de 1977, onde é atribuída ao prof. Nicanor Lemgruber.

— Sobre a publicação, ou não, das soluções de problemas:

O colega José Renato C. e Carneiro, de São Paulo, SP, concorda com a RPM, em sua resposta (RPM 10, p. 67). Considera José Renato que a motivação é muito maior quando se espera pelo número seguinte para saber se estavam corretas as várias soluções enviadas.

RPM. Lembramos, ainda, aos leitores, que a Matemática progride no rastro de problemas não resolvidos.

— Outros mandamentos?

A colega Maria Paula M. Costa, de Goiânia, GO, anexou ao questionário a seguinte pergunta: Quais os 10 mandamentos da Matemática? Ela conta que o primeiro é "Não dividirás por zero". RPM. Alguém conhece a resposta?

— Novas seções

Além das sugestões feitas nos questionários e que estão sendo computadas, outras estão vindo em cartas. Algumas destas sugerem a criação de novas seções, como, por exemplo, uma de Estatística (sugestão de Álvaro Vigo, de Porto Alegre, RS), de Orientação Pedagógica (sugestão de Heimar A. Fontes, de Jundiaí, SP) ou com o perfil de matemáticos como Pitágoras, Euclides, ... (sugestão de Ricardo Dias, de Mogi das Cruzes, SP). A colega Rita de Cássia A. Medeiros, de Capão Bonito, CE, pede que a RPM procure apresentar demonstrações com um exame crítico e didático a fim de prover o professor do know-how de que se fala na RPM 10, p. 9.

Vários colegas sugerem, ainda, a instituição de uma Olimpíada entre os leitores da RPM.

—   Continua gratuita a RPM?

Outros tantos colegas sugerem que seja cobrada uma taxa de assinatura da RPM.

RPM. Este é um ponto que está sempre em discussão entre os responsáveis pela edição e sustento financeiro da Revista. A idéia da cobrança atenderia não só ao aspecto financeiro, como seria uma boa medida de interesse por parte do leitor. Dificuldades como a fixação de um preço justo para a categoria dos professores em todo o país, que, além disso, compense o acréscimo de despesas representado pela cobrança e seu controle, têm protelado uma decisão a respeito. A aprovação do SPEC de um novo projeto (RPM 11, p. 38) nos dá um prazo maior para medir e avaliar estes e outros parâmetros envolvidos.

—   Uma queixa procedente

A colega Vera Muller, de Porto Alegre, RS, reclama do atraso nas informações da seção "O que vai por aí".

RPM. Você está com a razão. De fato, cada número é composto uns quatro meses antes de sua chegada às mãos do leitor. Isto já exige uma grande antecedência na obtenção das notícias em relação aos eventos. No número 9, em que houve um maior atraso na impressão, nossas avaliações de prazo ficaram muito aquém das necessidades.

—   Boa notícias

A colega Rosaly Mara S. Garita, de Botucatu, SP, enviou-nos um trabalho de um aluno seu da 6ª série, Fábio Leandro Barros. Sob o título "Pesquisa sobre Matemática", o trabalho apresenta a história e várias ilustrações de alguns sistemas de numeração.

A colega, elogiando o artigo sobre Arquimedes (RPM 9, p. 11) e a nota sobre Numerais (RPM 9, p. 15), afirma que os alunos gostam de conhecer histórias de matemáticos famosos, bem como de associar Matemática a outras disciplinas. Conta-nos um fato ocorrido por ocasião da comemoração do aniversário do compositor "Angelino de Oliveira", patrono de sua escola. Quando de um ensaio, na escola, da Orquestra Sinfônica de Botucatu, foi feita uma apresentação dos instrumentos musicais e, aí, surgiu o fato de que a clarineta fora criada no Egito. Um aluno sussurrou para outro: "Olha, mais uma coisa do Egito". E a mestra se lembrou de que, naquela manhã, haviam discutido as origens da Geometria.

— De nossos leitores

ALEGRIA é "receber correspondência da RPM".

(César Homero M. Trindade, de Pirassununga, SP)

(*) Engano da RPM — não do prof. Lucien J. Thys —, esquecemos a palavra "menor".