58.  Com a finalidade de aumentar a arrecadação do seu Sistema de Loterias, a Caixa Econômica Federal implantou um novo jogo, denominado Loto II, no qual o apostador escolhe seis dezenas no conjunto [01, 02, ..., 50). Semanalmente a Caixa sorteia seis dezenas desse mesmo conjunto e são atribuídos prêmios aos acertadores da: i) Sena — as seis dezenas sorteadas; ii) Sena anterior e posterior — conjunto dos seis números imediatamente anteriores ou imediatamente posteriores às seis dezenas sorteadas; iii) Quina — cinco das seis dezenas sorteadas; iv) Quadra — quatro das seis dezenas sorteadas. (Para o prêmio descrito em ii, 50 e 01 são considerados consecutivos.) Compare as probabilidades de que um apostador que joga seis dezenas em cada um dos oito tipos de Loto não saia perdendo, isto é, ganhe algum dos prêmios oferecidos.

59.    Dado um triângulo ABC, de lados AB = 10, AC = 9 e BC = 6,  seja P um ponto qualquer interior ao triângulo e sejam M e TV os pés dasperpendiculares traçadas de A  às retas BC e PB, respectivamente. Verifique se existe algum ponto P, interior ao triângulo, para o qual o comprimento MN seja máximo (enviado por Mareio Andrade Monteiro, DF).

60.    a) Determine as condições que devem ser satisfeitas pelo número natural n,   para que  2ⁿ -  1   seja divisível por 7;

b) Mostre que não existe nenhum número natural  n  para o qual  2ⁿ + 1 seja divisível por 7.

61.  Numa reunião, um indivíduo se gabava de haver descoberto um número natural que possuía a seguinte propriedade: para escrever o número e seu quadrado, usam-se somente os algarismos de 1 a 9 e, cada um deles, uma única vez. Um matemático presente à reunião pensou um pouco, fez alguns cálculos e anunciou que existiam dois números naturais que satisfaziam as condições propostas. Você é capaz de descobri-los? (É claro que a nossa intenção não é que você comece a calcular os quadrados de números naturais até encontrar os números procurados. O que se quer é que você, usando as hipóteses e propriedades elementares da Teoria dos Números, consiga reduzir ao mínimo o número de cálculos necessários para a determinação desses números.)

Histórias sobre os probleminhas da RPM 11

O problema do gavião e do bando de ribaçãs pertence ao grupo de problemas recreativos milenares que foram classificados por J. Tropfke em sua Geschichte der Elementarmathematik (4ª edição, vol. 1, W. de Gruyter, Berlin, 1980).

Esse problema foi enquadrado por Tropfke entre os do tipo "Gott Griiss Euch" (ou seja, "Saudações a Vós"). Ele pode ser encontrado na Antologia Grega, redigida por Metrodorus, no século 5, mas formada por epigramas aritméticos, já seculares naquela época.

Na sua forma original, o enunciado do problema se refere a um homem, que se dirigiu a um grupo de outros, assim:

"Saudações a todos vós 100!" Um dos membros do grupo respondeu: "Não somos 100 mas nós, outro tanto de nós, mais a metade de nós e um quarto de nós, mais vós, seremos 100".

Posteriormente, esse problema reaparece com os homens substituídos por cegonhas, cavalos, carneiros, pombos, estudantes, etc, em livros persas, italianos, alemães, etc, através dos séculos.

Eu mesmo*, numa festa de batizado, no interior de Alagoas, fui desafiado a resolvê-lo, por um fazendeiro local. Pouco depois, um carpinteiro português, trabalhando no IMPA, ao saber que ali éramos matemáticos, procurou-me e propôs esse problema, apenas para testar se os nossos pesquisadores tinham, realmente, competência...

O problema da distribuição das laranjas. Este problema está no Liber Abaci, escrito por Leonardo de Pisa, matemático italiano (conhecido como Fibonacci), que viveu entre 1170 e 1240. Seu título original era De Mo qui intrauit in uiridario pro pomis colligendis e o enunciado era o seguinte:

"Um homem colheu maçãs num pomar guardado por sete portões. Na saída, ao passar por cada um dos portões, teve que dar ao guarda, ali postado, metade das maçãs que lhe restavam mais uma. Depois de transpor o sétimo portão, sobrou-lhe apenas uma maçã. Quantas maçãs o homem colheu."

O burro e o cavalo. Este problema é atribuído a Euclides. (V., por exemplo, W. W. R. Bali, A Short Account of the History of Mathematics, Mac Millan, Londres, 1915.) Logo, tem, no mínimo, dois mil e trezentos anos. Entre nós, ele aparece na Arithmetica Progressiva de António Trajano, conforme me lembrou o próprio Professor Flávio Wagner Rodrigues.

Os dois problemas seguintes também são bem antigos. Eles são interessantes porque admitem mais de uma resposta correta.

* Neste número "...e probleminhas" foi redigido por Elon Lages Lima.

O problema da mulher dos ovos:

Uma velha senhora vendia ovos no mercado. Um dia, dois homens a empurraram e quebraram seus ovos. Ela procurou o juiz, que sentenciou os homens a lhe devolverem seus ovos. "Quantos eram?", quis saber o juiz. A mulher respondeu: "Não sei. Sei apenas que contando-os de dois em dois, de três em três, de quatro em quatro, de cinco em cinco ou de seis em seis sempre sobrava um. Mas contando-os de sete em sete não sobrava nenhum". Quantos eram os ovos?

O problema da mulher dos ovos foi publicado, pela primeira vez, ao que parece, no livro do matemático hindu Bhaskara, em 629, e, a partir daí, seguiu longa trajetória, sendo repetido pelos italianos Fibonacci (Idade Média), Tartaglia (Renascimento), pelos franceses Trenchant (1558) e Bachet (1612), etc, até os nossos dias.

E o problema das aves:

Um galo custa 5 moedas, uma galinha custa 3 moedas e 3 frangos custam 1 moeda. Quantos galos, galinhas e frangos, num total de 100 aves, se podem comprar com 100 moedas?

Esse problema apareceu no Tratado de Matemática do chinês Chang Chin-Chien, publicado aproximadamente no ano 485.

Não deixa de ser fascinante como estas singelas questões atravessaram os séculos, multiplicaram-se através de diversas reformulações e chegaram até os nossos dias, mantendo sempre o bom propósito de exercitar os estudantes e ilustrar o uso da Matemática por meio de aplicações prosaicas porém dotadas de um poder de atração duradouro.

A RPM, numa tentativa de publicar três números em 1988, antecipou a data de entrega do material das diversas seções. Nessa data, ainda continuávamos recebendo soluções dos problemas propostos na RPM 11. Com receio de deixarmos de publicar uma ou outra solução mais interessante que chegasse fora do novo prazo, resolvemos adiar para o n? 13 a publicação das soluções dos problemas 54, 55, 56 e 57. Neste número, como foi prometido na RPM 11, publicamos a solução do problema 47:

47. Na figura, a reta ,1, o círculo tangente a t em O e o ponto P estão fixos. Determine o lugar geométrico dos ortocentros do AAOB, quando a reta r varia mas sempre passando pelo ponto  P.
 

Sejam C o centro do círculo, OQ um diâmetro, M ponto médio de AB e H ortocentro do triângulo OAB. Como AHBQ é um paralelogramo, tem-se que M é ponto médio de QH e portanto HO = 2CM, isto é, a distância do ortocentro a um vértice é o dobro da distância do circuncentro ao lado oposto. Logo H é homotético a M pela homotetia de centro Q e razão 2.

Como M pertence ao círculo de diâmetro PC, então H pertence ao círculo homotético que tem centro K e raio KO = PC (ver figura 2, onde OCPK é um paralelogramo). Como o lugar geométrico de Aí é o arco OI do círculo de diâmetro PC, tem-se que o lugar geométrico de H é o arco JL do círculo de centro K e raio KO, onde J e L são obtidos, respectivamente, pelas intersecções das retas QI e QO com este último círculo.

(Solução enviada por Eduardo  Wagner, do Rio de Janeiro, RJ.)

Esta é uma subseção que esperamos ser pouco freqüente. Nela procuramos corrigir os erros que, eventualmente, poderão surgir nas soluções dos problemas.

A nossa primeira falha ocorreu não por ação, mas sim, por omissão. O colega João Linneu do Amaral Prado, de Jaú, SP, nos havia enviado uma solução interessante e correta para o problema 34, porém o seu nome não constou da lista dos acertadores. Com as nossas desculpas ao Prof. Linneu, resumimos abaixo os principais pontos da sua demonstração, sugerindo que o leitor tente preencher as lacunas.

Problema 34. Prove que    se     a_i > 1,   então

Solução:

a)      Mostre que a desigualdade vale   n = 2.

b)     Por indução em k, mostre que ela vale para todo  n  da forma  2^k,   k inteiro positivo.

c)      Dados a₁, a₂, ..., a_n ,  n qualquer, escolha k tal que 2^k > n.  A seguir, introduza os núme­
ros auxiliares  a_n+1  = a_{n + 2} =  ... = a_2k = (a₁, ^. a₂ ^. ... ^. a_n)^1/n.

d)     Use o fato de que a desigualdade vale para 2^k números para demonstrar que ela vale também para  a₁, a_{2............} a_n .

(Uma outra solução se encontra na RPM 11, p. 57.)

Na solução do problema 35 (RPM 11, p. 58), enviada pelo colega Sérgio Dalmas, de São Vicente, SP, o final foi modificado por nós, com o objetivo de simplificá-lo. No entanto, inadvertidamente, usamos uma implicação que não é verdadeira, fato que o próprio Sérgio se encarregou de nos apontar.

Para corrigir essa falha, propomos a substituição das duas últimas linhas da demonstração, pelas seguintes:

validade de (3), com as hipóteses dadas sobre , , e ".

O Problema resolvido e comentado

Atendendo a sugestões de diversos leitores vamos iniciar, neste número, a resolução, com comentários, de problemas que possam ser úteis ao professor na sala de aula. Procuraremos escolher problemas que sirvam para despertar o interesse do estudante, ou para ajudar o professor a esclarecer algum ponto mais delicado do programa. Se você conhece algum problema que se enquadre dentro desses objetivos e gostaria de vê-lo discutido aqui, envie sua sugestão para a RPM-Problemas. Vamos começar com um problema clássico, que, embora bastante conhecido, permite que coloquemos alguns pontos que nos parecem importantes, do ponto de vista didático.

Problema. Num quintal existem galinhas e coelhos, num total de 80 cabeças e 256 pés. Quantas galinhas e quantos coelhos existem nesse quintal?

Comentários

Experimente perguntar na sua classe quantos estudantes seriam capazes de resolver esse problema, sem chamar de x o número de galinhas, de y o número de coelhos, isto é, sem montar um sistema de duas equações com duas incógnitas. Acreditamos que o número será bastante pequeno, uma vez que a grande maioria, em função do menor esforço mental exigido pela solução algébrica, provavelmente já esqueceu como é que resolvia um problema desse tipo, antes de aprender sistemas de equações. Alguns leitores poderão argumentar que a situação que acabamos de descrever não se constitui num problema, do ponto de vista didático, uma vez que, de uma ou de outra forma, os estudantes são capazes de encontrar uma solução para a questão proposta. Vale a pena observar, no entanto, que a falta de treino irá, cada vez mais, fazendo com que o estudante perca a capacidade de utilizar o raciocínio para resolver problemas e quando essa capacidade for exigida dele no futuro (por exemplo, quando ele começar a estudar Análise Combinatória), as suas dificuldades serão, certamente, bem maiores.

Solução:

A idéia é considerarmos o que aconteceria se no quintal, ao invés de galinhas e coelhos, tivéssemos apenas galinhas ou apenas coelhos. Assim, por exemplo, se tivéssemos 80 galinhas, o total de pés seria 160 e não 256. Essa diferença de 96 pés é explicada pelos coelhos que foram contados como galinhas. Cada vez que isso acontece, isto é, cada vez que um coelho é contado como galinha temos uma diferença de 2 pés. Como no total nós tivemos uma diferença de 96, segue-se que o número de coelhos é igual a 96/2 = 48 e, conseqüentemente, o número de galinhas é igual a 32.

Variantes

  Num quintal existem galinhas e coelhos num total de n cabeças e m pés. Que condições devem satisfazer nem para que isso seja possível? Supondo essas condições satisfeitas, quantas galinhas e quantos coelhos existem no quintal?

Resposta:  m  deve ser par e  2n < m < 4n.   O número de coelhos é igual a  (m - 2n )/2  e o número de galinhas é   (4n - m)/2.

 Numa fazenda na África, existem búfalos, avestruzes e rinocerontes, num total de 227 cabeças, 782 pés e 303 chifres. Quantos animais de cada tipo existem na fazenda? Sugestão: Inicialmente, determine o número de avestruzes, imaginando que todos os animais da fazenda têm 4 pés. Em seguida retire a contribuição dos avestruzes do número de cabeças e de pés e determine o número de rinocerontes, imaginando que todos os animais restantes têm 2 chifres.

 Resposta: 63 avestruzes, 25 rinocerontes e 139 búfalos.

Uma sugestão que pode ser feita aos professores é que, quando estiverem resolvendo problemas que envolvam sistemas de equações, procurem, sempre, estimular os estudantes na busca de soluções alternativas. Isto servirá, ao mesmo tempo, para mostrar ao aluno o poder do método algébrico e também para fazer com que ele não perca, por falta de treino, a capacidade de usar o raciocínio para resolver problemas.