Antônio C. Patrocínio IMECC — UNICAMP Muitos problemas em Matemática envolvem processos adequados de "contagem" que, freqüentemente, conduzem a fórmulas gerais extremamente úteis; por exemplo, para contar de quantas maneiras podemos combinar n objetos em grupos de r desses objetos, usamos a conhecida fórmula que dá o número de combinações de  n  objetos tomados  r a  r,   a saber: Vamos analisar um problema de contagem do número de regiões no plano que pode ser resolvido de maneira direta, simples e interessante. Trata-se do seguinte: Considere n pontos distribuídos sobre uma circunferência de tal modo que o segmento ligando dois quaisquer desses pontos não passe pelo ponto de intersecção de outros dois segmentos; calcular, em função de n, o número Rn  de regiões obtidas no círculo quando todos os  n  pontos são ligados. Examinando os casos  n = 2, 3, 4 e 5,   temos:   O próximo caso, n = 6, mostra que R6 = 31, não sendo, portanto, uma potência de 2, como poderia ser indicado pelos casos anteriores. Na verdade, para  n > 4,  vale a seguinte fórmula Esse problema, na formulação acima, ou em formulações semelhantes, tem sido abordado por vários autores, entre os quais Ginsburg (1), Gusmán (2) e Honsberger (3). A primeira demonstração da fórmula (1) que daremos a seguir é essencialmente a mesma que está em (3), página 104, e que, como o leitor verá, envolve apenas um processo de contagem direto e simples.

Demonstração 1 Vamos descrever um processo que nos permite obter o número Rn pela eliminação sucessiva de diagonais. Ao retirarmos uma das diagonais, o número de regiões irá diminuir, visto que duas regiões que têm em comum um segmento da diagonal retirada fundem-se em uma única região. Por exemplo, na figura 2, a retirada da diagonal D12, que liga os pontos 1 e 2, faz com que as regiões A e B se transformem em uma única região; a retirada da diagonal D35 transforma em quatro as oito regiões que têm partes dessa diagonal como arestas. Podemos observar que, ao retirarmos uma diagonal, o número de regiões decresce conforme o número de pontos de intersecção dessa diagonal com aquelas que ainda não foram removidas, mais um. Com efeito, esse é o número de segmentos nos quais os referidos pontos de intersecção dividem a diagonal e a remoção de cada um desses segmentos transforma duas regiões em uma. Assim, a remoção da diagonal D12, que não tem ponto de intersecção com as demais, produz um decréscimo de apenas um no número total de regiões; já a retirada da diagonal D35, que tem 3 pontos de intersecção com as demais diagonais, produz um decréscimo de 4 regiões. Notemos que, no processo de retirada sucessiva das diagonais, considera-se o número de pontos de intersecção de cada diagonal com aquelas que ainda não foram retiradas; no final do processo, ao serem retiradas, sucessivamente, todas as diagonais, tal número é igual ao o número de regiões decresce até reduzir-se a uma única região, quando todas as diagonais tiverem sido eliminadas. Podemos então concluir que o número de regiões eliminadas no processo de retirada sucessiva de todas as diagonais é dado pelo número total de pontos de regiões eliminadas mais uma — a que restou no final do processo —, é dado por

Demonstração 2 Em Geometria, uma das fórmulas mais notáveis é a chamada "fórmula de Euler", que estabelece uma relação entre o número de vértices, arestas e faces de um poliedro: V A + F = 2. Mostraremos, em seguida, como a fórmula (1) pode ser obtida a partir da fórmula de Euler; tal possibilidade era de se esperar, pois a demonstração mais conhecida da fórmula de Euler, devida a Cauchy, começa removendo uma face do poliedro e deformando a parte restante em uma região plana que é um polígono subdividido pelas arestas do poliedro; a propósito da fórmula de Euler sugerimos a leitura dos artigos do Prof. Elon Lima na RPM (RPM 3, p. 15 e RPM 5, p. 23) e, em especial, a referência (4), página 83, bem como o do Prof. João Bosco Pitombeira (RPM 11, p. 9). Para poliedros planos, como o da figura 2, obtidos pela interligação de n pontos na circunferência, a fórmula de Euler se reduz a V - A + F = 1                                                          (2) Vamos calcular, separadamente, V, A e F em função de n e substituí-los na fórmula (2) para obter Rn. Cálculo do número de vértices. Para cada 4 vértices na circunferência existem dois, e apenas dois, segmentos que se cruzam, e portanto determinam um vértice interno — de modo que   Cálculo do número de arestas. Cada vértice externo contribui com n — 1 arestas e cada vértice interno com 4 arestas, de modo que:   Cálculo do número de regiões. O número Rn é obtido acrescentando-se a F o número n de regiões compreendidas entre o poliedro plano e a circunferência, de modo que Basta agora substituir (3), (4) e (5) na fórmula (2) para se obter o valor de  Rn , dado pela fórmula (1). Observação. A fórmula (2) pode ser, facilmente, obtida da fórmula (1) — basta substituir (3), (4), e (5) na fórmula (1). Observamos, entretanto, que esta demonstração da fórmula (2) é restrita a poliedros planos particulares e que a fórmula de Euler é muito mais geral.