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Arredondada ou achatada?
Luiz Márcio P. Imenes
Para responder a esta pergunta, vamos inicialmente construir o conceito de excentricidade, compreendendo o seu significado. A elipse pode ser desenhada com lápis, papel, barbante e dois alfinetes O processo é bem conhecido (veja RPM 9, p. 9). Os dois alfinetes representam os focos da elipse e o eixo maior da mesma está contido na reta que passa pelos focos.
É fácil perceber que o comprimento do eixo maior da elipse
Afastando ou aproximando convenientemente os dois alfinetes, podemos desenhar diversas elipses, todas com o mesmo eixo maior. Umas são mais arredondadas, outras mais achatadas. Quanto maior a distância entre os focos, mais achatada é a elipse. Quando os focos se aproximam, ela se arredonda, avizinhando-se de uma circunferência. Em particular, se os focos coincidem, isto é, se a distância entre eles é zero, então obtemos a circunferência. Vamos designar por 2c a distância entre os focos e por 2a o comprimento do eixo maior. A elipse é tanto mais achatada quanto mais 2c se aproxima de 2a; tanto mais arredondada quanto mais 2c se afasta de 2a. Isto é, a relação entre 2c e 2a, ou seja, entre c e a, define o arredondamento ou achatamento de uma elipse.
Quando os focos estão próximos, c é pequeno em relação a a e, por isso, e é quase nulo. Quando os focos estão bastante afastados, c é próximo de a e então e é quase igual a 1.
Portanto, a excentricidade de uma elipse é um número, compreendido entre 0 e 1, que nos informa quão achatada ou quão arredondada uma elipse é. A compreensão desta idéia, por si só, já responde, pelo menos em parte, à pergunta inicial. Mas, poderíamos ainda perguntar: "quem, na vida prática, poderia estar interessado em saber se uma elipse é mais ou menos achatada ou arredondada!" Quando recebi a carta do colega, com sua interessante pergunta, logo pensei no astrônomo. As órbitas dos planetas são elípticas. Tais elipses são achatadas ou arredondadas? Certamente esta questão deve interessá-los. Pessoalmente, nunca havia me preocupado com isso. Antes de procurar um livro de Astronomia, quis avaliar a minha expectativa. Lembrei-me dos tempos em que estudei as leis de Kepler. As figuras que apareciam nos textos de Física estavam fotografadas na memória. Aquelas elipses nem eram muito achatadas, nem ir to arredondadas. Avaliei, então, que a excentricidade das órbitas dos piam não deveria estar próxima de 0 nem de 1. Minha expectativa era pelo meio-termo.
Estas excentricidades são muito pequenas; quase todas são menores 10%. Isso significa que, contrariando minha expectativa, as órbitas dos planetas do sistema solar são elipses muito arredondadas. Para avaliar quão pr mas de uma circunferência elas estão, o professor Geraldo Ávila propõe, um de seus livros de Cálculo(*), alguns exercícios interessantes. Vejamos o e cicio 10 da página 140. "A órbita da Terra é uma elipse de excentricidade 0,017. Tomando o semi-eixo maior como unidade, calcule o semi-eixo menor e desenhe a elipse corresponte. Observe que é impossível distingui-la, visualmente, de uma circunferência!"
Resolução:
Uma vez que b2 = a2
b2
= l2 - (0,017)2, donde b = 0,999
Considerando o planeta de maior excentricidade, que é Plutão, teremos
Mesmo neste caso a elipse ainda é muito parecida com uma circunfência! (*) Ávila, G. Cálculo 2; funções de urna variável, 3. ed. LTC, 1982. |
é igual ao comprimento do barbante. Basta observar a posição particular em que a ponta d
Encontrei as informações que
desejava no livro Fundamentos de 
c2, resulta:
Portanto, se para
desenhar a elipse tomarmos a = 1 dm, teremos b = 0,999 dm
= 9,99 cm. Essa diferença
entre a e b, que é da
ordem de 1 décimo de milímetro, é imperceptível aos olhos. Visualmente,
tal elipse é portanto uma
circunferência.