Embora sem desejar estender a controvérsia sobre o 0^o, não pudemos evitar de apresentar os comentários que seguem, referentes ao artigo Novamente 0^o, da seção Conceitos e Controvérsias (RPM 7, p.17, 1985).

Introduzamos a questão com a seguinte pergunta: qual é o valor de x em x² = 4?

Esta pergunta é sem resposta, porque não se sabe a que conjunto suporte pertencem x e 4. Se eles forem números reais, então não existe nenhum x que satisfaça a condição dada. Contudo, se eles forem números complexos, então existem dois valores que satisfazem a condição dada: x=2i e x = 2i. Este exemplo visa ilustrar o quanto é decisiva a fixação prévia da estrutura algébrica envolvida (a operação e o seu conjunto suporte).

A questão do 0^o é análoga. De fato, à pergunta "0^o existe?" falta informar de que operação se trata e qual é o conjunto suporte dela.

Recoloquemos a questão na seguinte forma: dada a expressão y^x, se x = 0 e y = 0,  existe um z tal que z = y^x?

Respondamos: se x e y são cardinais, com x - 0 e y = 0 , então existe um único cardinal z tal que z = 0^o, que é z = 1, isto é, 0^o = 1. Esta afirmação nÃO É Uma convenção, é um teorema (vide Bourbaki, Théorie des Ensembles, Hermann, p. E.III.29, Proposição 11; Godement, Cours d'Algèbre, Hermann, p. 90; Kamke, E., Mengenlehre, Walter de Gruyter, § 16, cap. 2; Suppes, P., Axiomatic Set Theory, Dover, p. 116, teorema 68, § 4.3, cap. 4; Rosser, J. B., Logic for Mathematicians, Chelsea, 2. ed., p. 385, teorema XI.2.49, § 2º, cap. XI). Em suma, neste caso, tem-se, necessariamente, 0^o = 1, o contrário (isto é, ser 0^o outra coisa que não 1) é matematicamente impossível. Além disso, Bourbaki (e outros, como Godement, p. ex.) define: "diz-se que um cardinal a é finito, se a a + 1; um cardinal finito se chama também, número natural" (op. cit., E.III.30 — Definição 1). Isso nos permite responder, ainda, à questão proposta, assim: se x e y sao números naturais, com x = 0 e y - 0,  então existe um único número natural z,  tal que  z = 0^o,   que é  z = 1,   isto é,   0^o =  1. Mais uma vez, trata-se de um Teorema (vide Godement, op. cit., p. 97), rigorosamente demonstrado.

Por outro lado, pode-se responder, também, à questão proposta assim: se x e y são reais, então a expressão y^x NÃO É DEFINIDA se x = 0 e y = 0. Todavia, essa expressão,   0^o,   pode ser considerada símbolo de

caso em que ela é uma expressão indeterminada (conforme mostrou o Prof. Elon Lages Lima na RPM 7, p. 17). O motivo de a expressão y^x não ser definida quando x = 0 e y = 0, sendo x e y reais, provém do fato de ser a definição da exponenciação entre reais completamente diferente da definição de exponenciação entre os números naturais. A definição de exponenciação dos reais, baseada na função exponencial, é feita a partir da função logarítmica.

(vide Elon Lages Lima, Logaritmos, Fundamentos de Matemática Elementar, IMPA, LTC, p. 35; do mesmo Autor, Análise, v. 1, IMPA, LTC, 3. ed., p. 274).

Conclui-se, também, do exposto, que "os defensores do 0^o = 1  não reivindiquem o
 naturais, enquanto  0^o é.

Desejamos, por fim, fazer justiça à exposição de ambos os Professores, o Prof. Euclides Rosa e o Prof. Elon Lages Lima. O primeiro, que destacou o ponto de vista do Algebrista, mais afeito aos cardinais e aos números naturais, apresentou num esboço sucinto, no seu "primeiro raciocínio", a definição da exponenciação de naturais e a demonstração do Teorema 0^o = 1, válido para essa operação, definida nesse conjunto suporte. O segundo, já com o ponto de vista do especialista em Análise, que evoca imediatamente os reais, mostrou, dentro deste contexto, que a expressão  0^o é indeterminada.

Uma nova seção — Qual o seu nome?

Atendendo a sugestões de questionários, pensamos em abrir uma nova seção que venha atender o leitor da RPM. Trata-se de uma oportunidade para os colegas anunciarem assuntos ligados ao exercício da profissão, incluindo procura e oferta de empregos para professores de Matemática nos vários pontos dos país.

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