A 28? Olimpíada Internacional de Matemática realizou-se no mês de julho, em Cuba. Três estudantes da equipe brasileira foram premiados:

Ralph Costa Teixeira repetiu a façanha do ano passado e novamente conquistou um 1º prêmio. Desta vez, ele acertou integralmente os 6 problemas da prova!

Marcelo R. Xavier de Mendonça e Felipe Fritz Braga receberam, cada um, um terceiro prêmio.

São tantas as Olimpíadas de Matemática mencionadas na RPM, que talvez um quadro descreva melhor o desempenho destes três jovens que somente este ano completaram 18 anos e ingressaram na Universidade.

Tanto Marcelo quanto Ralph, que moram no Rio de Janeiro, já freqüentam cursos no IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada) e têm-se reunido, semanalmente, com o Prof. Elon Lages Lima, que os orienta no estudo da Matemática.

Deixe-me contar como é feita a avaliação das provas numa Olimpíada Internacional.

Como cada estudante faz a prova na sua língua materna, estas são realizadas em dezenas de línguas. Por isso a correção inicial é feita pelo líder e vice-líder de cada equipe, que atribuem, a cada problema de uma prova, de 0 a 7 pontos.

A Comissão Local da Olimpíada designa 6 júris, um para cada questão. Assim, por exemplo, o júri IV examinará somente as correções da questão 4. Um júri é composto por 4 ou mais pessoas (em geral, matemáticos ou professores universitários). Seguindo um cronograma previamente estabelecido, cada líder apresenta, a cada um dos 6 júris, as provas corrigidas de sua equipe, e, se solicitado, explica em uma das línguas oficiais da Olimpíada, o porquê do número de pontos atribuídos a um determinado problema. Quase sempre júri e líder chegam a um  acordo quanto à "nota" de cada estudante.

Cumpre ressaltar que os membros de cada júri, alei e serem escolhidos pela sua competência, estudam de antemão o problema sob sua responsabilidade, para melhor entender as soluções que lhe forem apresentados.

Na 27? Olimpíada foi este o enunciado da 5? questão:

Seja n > 3 um número natural. Prove que existem n pontos, no plano, tais que a distância entre dois quaisquer dentre eles seja irracional enquanto que a área do triângulo, que três quaisquer dentre eles determinam, seja racional e não nula.

Para a correção foi estabelecido que uma resposta correta, embora sem justificativa satisfatória, valeria 2 pontos.

Ralph, Felipe e Marcelo acertaram integralmente a questão (veja a solução mais abaixo) e o líder atribuiu, a cada um, 7 pontos.

Alberto, também da equipe brasileira, afirmou que n pontos do tipo (2ⁱ, 3ⁱ), i natural, constituíam uma solução, mas a justificativa que apresentou não estava correta. Para decidir se Alberto merecia, ou não, 2 pontos, era necessário saber se (2ⁱ, 3ⁱ) era uma solução do problema.

O líder e vice-líder da equipe brasileira, que, num prazo relativamente curto, devem corrigir 36 problemas (6 provas com 6 problemas), deixaram em aberto a atribuição de pontos à 5º questão do Alberto, certos de que o júri saberia dizer se a solução estava certa ou errada.

Mas o júri não sabia. Pensaram; tentaram isso; tentaram aquilo e não chegaram a conclusão nenhuma. Resolveram então dar o problema para um computador para que testasse os números

para vários valores de i e j, à procura de um que fosse racional. O computador encontrou um número racional para  i = 10 e j = 12.

Aparentemente, a solução dada por Alberto estava errada e, na ocasião, por já ter passado meia-noite, os trabalhos foram encerrados.

Na manhã seguinte, na hora do café, o prof. A. Barone Netto, líder da equipe, contou a eles que o computador achara um contra-exemplo para a solução do Alberto, mas que o resultado era duvidoso, uma vez que

res fazem arredondamentos ao lidar com números de muitos algarismos.

Após cinco minutos, Ralph afirmou que o computador estava errado e deu, de imediato, a seguinte justificativa:

Se   (2¹² - 2¹⁰)² + (3¹² 3¹⁰)² = a²  então

(2^{10 .} 3)² + (3^{10 .} 8)² = a² 2^{6 .} 3²(2¹⁴ + 3¹⁸) = a² e, portanto,   2¹⁴ + 3¹⁸  seria um quadrado perfeito. Mas, 2¹⁴ + 3¹⁸ = b² 3¹⁸ = (6 2⁷)(b + 2⁷).

Como 3 não pode, simultaneamente, dividir b 2⁷ e b + 2⁷, pois, neste caso, dividiria b + 2⁷ (b 2⁷) = 2⁸, conclui-se que b 2⁷ = 1 e b + 2⁷ = 3¹⁸, ou seja, b=2⁷+1 e 2⁷+1+2⁷=3¹⁸,  isto é,  2⁸ + 1 = 3¹⁸

0  que, obviamente, é falso.

E assim, sem o contra-exemplo, a dúvida permanece:

(2ⁱ, 3ⁱ), i natural, é uma solução do problema 5?

Realizou-se no dia 15 de agosto em várias cidades do Brasil. Transcrevemos a seguir os três problemas de Geometria que fizeram parte da prova:

1.     Tem-se um bolo em forma de prisma triangular, cuja base está em um plano horizontal. Dois indivíduos vão dividir o bolo de acordo com a seguinte regra: o primeiro escolhe um ponto na base superior do bolo e o segundo corta o bolo por um plano vertical à sua escolha, passando porém pelo ponto escolhido, e seleciona para si um dos pedaços em que dividiu o bolo. Qual deve ser a estratégia para o primeiro e qual deve ser a fração do volume do bolo que ele esperaobter?

2.     São dados um poliedro convexo e um ponto interior ao poliedro. Prove que existe uma face do poliedro tal que a projeção ortogonal do ponto no plano suporte desta face seja interior à face.

3.     Aos pontos   A_l   =   (x₁  y₁,   z₁),   ....   A_n   =   (x_n  y_n ,   z_n)   associa-se  um ponto
P = (x, y, z)  de modo que  | x - x₁| + | y - y₁| + | z - z₁| + ... + | x - x_n| + | y - y_n| + | z - z_n| seja mínimo. Dê um exemplo A₁, A₂, ..., A_n  tal que o ponto P resulte necessariamente exterior ao menor poliedro convexo que contenha os pontos A₁, A₂, ..., A_n.

Foram premiados os seguintes alunus: Song San Woei; Jun Takakura; Alberto Adami; Lenilson Barreira de Morais; Maria Célia Paiva de Freitas; Walfredo Cirne Filho; Antônio Marcos de Oliveira Costa; Edilson Jun Kina e Marcelo Augusto Cândido Cardoso.

Muitos colegas nos têm escrito perguntando onde podem ser encontradas as questões das Olimpíadas Brasileiras e Internacionais, com soluções.

Existem dois livros, ambos em inglês, que trazem as questões de todas as Olimpíadas Internacionais, desde 1959 até 1985, com soluções detalhadas. São eles:

Greitzer, S. L. International Mathematical Olympiads, 1959-1977 e

Klamkin, M. S. International Mathematical Olympiads, 1979-1985.

Ambos são publicações da:

The Mathematical Association of America 1529 Eighteenth Street, N.W. Washington, D.C. 20036 Estados Unidos

Para comprar os livros diretamente da MAA (Mathematical Association of America) um processo é o seguinte:

a)      Escreve-se para o endereço acima solicitando uma fatura pró-forma (invoice), cobrindo o preço do livro e a remessa postal. Em geral, recebe-se a fatura após um mês.

b)     Apresenta-se esta fatura a um banco (Bradesco, por exemplo) que emitirá uma ordem de pagamento em favor da MAA. Para a compra de livros técnicos, o dólar é vendido à taxa do câmbio
oficial, porém o banco cobra uma quantia pelo serviço prestado.

c)      A ordem de pagamento deverá ser remetida ao endereço acima, com uma cópia da fatura. Dependendo do banco, esta remessa é feita pelo comprador ou pelo banco.

d)     Decorridas cerca de 10 semanas, o livro chegará pelo correio.

Um processo um pouco mais simples (e bem mais caro) é encomendar o livro através de uma livraria. Existem, nas grandes cidades do Brasil, diversas livrarias que importam livros técnicos mediante pedido.

Se o leitor pretende escrever para a MAA, deve aproveitar a oportunidade e solicitar um catálogo.de, suas publicações. A MAA publica muitos livros de interesse para o professor. Dois deles já foram traduzidos pela SBM — são os números 5 e 6 da Coleção Fundamentos da Matemática Elementar.

O livro que contém as questões das 8 Primeiras Olimpíadas Brasileiras, com soluções, tem os seus originais prontos, devendo em breve estar no prelo. Esperamos já na RPM 12 poder anunciar sua publicação.