No artigo Mania de Pitágoras de Euclides Rosa (RPM 2, p. 14) foram apre­sentadas seis provas diferentes do Teorema de Pitágoras. Apresentamos aqui uma outra, baseada na justaposição, de dois modos diferentes, das mesmas figuras.

Trata-se do seguinte:

1.  Tome um triângulo retângulo de hipotenusa  a  e catetos   b e c.  Recorte em papel cartolina oito cópias deste triângulo e mais dois quadrados de lados iguais à diferença dos catetos do triângulo.

2.  Disponha essas peças como indicado a seguir:

Verifique que elas se encaixam perfeitamente. Com efeito, na figura A, em torno de cada vértice do quadrado Q os ângulos somam 360°. A partir desse fato e da análise dos comprimentos dos lados dos triângulos verifica-se que a figura maior, em A, é um quadrilátero cujos ângulos medem 90° e que tem os 4 lados iguais. Seguindo raciocínios análogos, constata-se que a figura B é composta de dois quadrados justapostos.

3. Como as figuras A e B foram montadas com peças iguais, temos

Área da fig. A = Área da fig. B

Mas a figura A é um quadrado de lado a e, portanto, sua área é a². A figura B compõe-se de dois quadrados: um de lado b (à esquerda da linha pontilhada) e outro de lado  c  (à direita da linha pontilhada). Logo, sua área é b² + c².

Portanto,   a² = b² + c²

Com palitos de sorvete e percevejos, os alunos podem construir polígonos variados: quadriláteros, triângulos, pentágonos, etc.
 

Com este material simples, podemos trabalhar conceitos, propriedades e idéias importantes. Vejamos alguns exemplos.

1.  Com exceção do triângulo, todos os demais polígonos de palitos não têm rigidez. O quadrilátero, o pentágono, o hexágono, etc. são deformáveis.

O de quatro lados pode ser um quadrado que se transforma num losango (mais ou menos achatado). O de cinco lados pode ser um pentágono não regular, que se torna regular e depois pode ficar não convexo.

2.  Como todos os palitos têm o mesmo comprimento, cada um dos polígonos construído é equilátero, isto é, tem todos os lados iguais. Mas, com exceção do triângulo, a igualdade dos lados não acarreta a igualdade dos ângulos. Em outras palavras, excetuando o triângulo, um polígono equilátero não é necessariamente equiângulo.

3. Esta transformação do polígono de palitos preserva a igualdade de seus lados. Preserva também o seu perímetro, mas não conserva sua área (veja RPM
7, p. 58).

4.  A rigidez do triângulo de palitos tem a ver com esta propriedade: os três lados determinam o triângulo.

A ausência de rigidez dos demais polígonos corresponde ao seguinte: um polígono, com quatro lados ou mais, não fica determinado apenas pelos seus lados.

5.  A rigidez do triângulo tem muitas aplicações práticas. Ela explica a presença dos triângulos nas estruturas de madeira ou ferro das construções.

Explica também a travessa usada nos portões.

Enfim, este material simples permite explorar muitas ideias interessantes. Ele pode ser usado no trabalho de sala de aula ou nas feiras de ciências