Joel Faria de Abreu
 Brasília - DF

Em uma classe de aproximadamente 40 alunos, é muito provável que dois deles façam anos no mesmo dia — tão provável que você poderá apostar sem medo na coincidência de, pelo menos, dois aniversários.

Neste artigo vamos mostrar que, numa classe de 40 alunos, sua chance de ganhar a aposta é 89,1 % e, mesmo se uma classe tiver apenas 23 alunos, a probabilidade de dois aniversários coincidirem será maior do que 50%!

Vejamos como explicar matematicamente tal fenômeno.

Seja E um conjunto de n pessoas e F o conjunto dos dias do ano (vamos esquecer os anos bissextos), isto é, F = [1, 2, 3, ..., 365]. Seja U o conjunto de todas as funções de E em F. Uma dessas funções é a que associa, a cada pessoa, o dia do seu aniversário.

Seja B o conjunto das funções injetoras de E em F e A o conjunto das funções não injetoras de E em F. O conjunto B representa as não coincidências de aniversários e o conjunto  A,   as coincidências.

É fácil ver que:

1.       O número de elementos de  U é o arranjo, com repetição, de 365,  n a n,
ou seja, n(U) = 365n;

2.       O número de elementos de B é o arranjo simples de 365,  n  a n,   isto é,
n(B) = 365 . 364 . ... . (365 n +  1).

3.      n(A) = n(U) - n(B)

A probabilidade de B, tomando  U  como conjunto-universo, é

probabilidade esta de não haver nenhuma coincidência de aniversários. A probabilidade de  A   (das coincidências de aniversários) é:

 

Calculando P(A) para alguns inteiros n, obtemos:  

Notamos alguns fenômenos bem interessantes:

1.  para um grupo de apenas 23 pessoas, a probabilidade de coincidência de aniersários é maior do que 50%;

2.  para um grupo de 41 pessoas, esta probabilidade é maior do que 90%;

3.  para 60 pessoas, já é quase certeza!

:4.  certeza mesmo, só para 367 pessoas (sempre pode ter alguém que tenha nascido em 29 de fevereiro).

O professor de Matemática, quando ensinar Probabilidade, poderá fazer experiência na sala de aula. Se as turmas forem grandes é bem provável que em cada uma delas haja pelo menos uma coincidência de aniversários. Vamos tentar?

Adendo: Seus alunos podem querer calcular o valor de P{A). Convém, então, observar que
 

 

.Pode-se efetuar este cálculo com uma tábua de logaritmos e uma tabela que dê os logaritmos de fatoriais. Assim, por exemplo,
 

se n = 20: log 345! = 727,38410
             e log 365! = 778,39975
Daí chega-se facilmente a P(A) 0,411

 

 

Joel Faria de Abreu é licenciado em Matemática pelo Centro de Ensino Unificado de Brasília — CEUB. Lecionou em colé­gios da Fundação Educacional do Distrito Federal, no Colégio Militar de Brasília e no CEUB. Atualmente é funcionário concursado da Câmara dos Deputados.