Neste artigo queremos mostrar uma curiosidade sobre o antigo problema dos cinco discos. A mais bela apresentação desse problema se encontra em O homem que calculava. Nele é contada uma lenda onde três príncipes muito sábios e conhecedores da Matemática pretendiam casar com a princesa Dahizé, filha do rei Cassim.

A prova dos cinco discos foi proposta por um grande sábio da corte para decidir qual dos três pretendentes era o mais inteligente.

Foram mostrados aos príncipes cinco discos, sendo dois pretos e três brancos, todos de mesmo peso e tamanho. Em seguida vendaram-lhe os olhos e, ao acaso, foi pendurado às costas de cada um dos três um disco. Disse o rei: "Cada um de vós será interrogado particularmente e aquele que descobrir a cor do disco que lhe coube por sorte, será declarado o vencedor. O primeiro a ser interrogado poderá ver os discos dos outros dois, ao segundo será permitido ver o disco do terceiro, e o terceiro terá que formular a resposta sem ver nada. Aquele que der a resposta certa terá que justificá-la".

Aconteceu então que o príncipe Camozã quis ser o primeiro. Viu os dois discos dos seus adversários e errou. Em seguida, sabendo que Camozã havia errado, o príncipe Benefir se prontificou em ser o segundo, mas também errou. Aradim, o terceiro príncipe, acertou com absoluta segurança. Qual foi a resposta do príncipe Aradim e como ele descobriu?

Esse é o problema dos cinco discos. Malba Tahan dá uma inteligente solução desse problema, onde conclui também que Aradim foi considerado o mais inteligente entre os três príncipes.

Eis a solução de Malba Tahan: o príncipe Aradim afirmou que o seu disco era branco e justificou da seguinte maneira: "Se Camozã (o primeiro a falar) tivesse visto dois discos pretos, ele obviamente teria acertado. Como ele errou, conclui-se que viu dois discos brancos, ou um preto e um branco. Na hipótese de Benefir ter visto em minhas costas um disco preto, ele (usando o mesmo raciocínio que fiz com relação a Camozã) teria acertado. Logo, ele só pode ter visto um disco branco e, portanto, o meu disco é branco".

A curiosidade que pretendemos apresentar é que sob o ponto de vista matemático, Aradim não é mais inteligente que Camozã ou Benefir. Com efeito, basta calcularmos as probabilidades de acerto de cada um dos três príncipes, levando em conta que todos eles são sábios.

As possíveis distribuições dos discos

Sejam b = (disco branco) e p = (disco preto). Por simplicidade escrevemos

X = Camozã,   Y =Benefir   e  Z = Aradim

Então a ordem em que os príncipes se apresentaram para serem interrogados pode ser representada por uma terna ordenada (X, Y, Z).

A título de exemplo, perguntamos quantas maneiras diferentes podem X possuir disco branco, Y possuir disco preto e Z possuir disco preto? Isto é, de ocorrer (b, p, p).

Sabemos que existem três discos brancos b₁, b₂ e b₃ e dois discos pretos p₁ e p₂. Por uma simples contagem, obtemos seis maneiras diferentes de ocorrer (b, p, p), a saber:

(b₁, p₁, p₂), (b₁, p₂, p₁), (b₂, p₁, p₂), (b₂, p₂, p₁), (b₃, p₁, p₂) e ((b₃, p₂, p₁)

E claro que o número total de maneiras em que podem ser distribuídos os discos aos príncipes é  A_{5, 3} = 60. Descrevendo esses casos, obtemos:

Lembretes

a) Se os conjuntos unitários de um espaço amostrai finito U  têm todos a mesma probabilidade, então a probabilidade de um evento A qualquer de U será dada por:

onde   n(A)   é o número de elementos do evento A e n(U)  é o número total de elementos do espaço amostrai   U.

b) Nas mesmas condições de a), se A₁ A₂, ..., A_n  são eventos disjuntos entre si,

Como o problema afirma que a escolha dos discos é feita ao acaso, segue-se que o espaço amostrai associado ao problema satisfaz as condições necessárias para a validade de a) e b). Não é difícil verificar também que o problema admite uma estratégia que maximiza a probabilidade de vitória de cada concorrente e garante, com probabilidade 1, a existência de um vencedor, que certamente será único uma vez que o processo termina no momento em que um dos concorrentes acertar a cor do seu disco. Como os concorrentes supostamente são sábios, é razoável admitir que eles seguirão a melhor estratégia em cada situação e portanto teremos

P(X) + P(Y) + P{Z) =  1

onde P(X),  P(Y) e P(Z)  são, respectivamente, as probabilidades de vitória de  X,    Y e   Z.

A estratégia ótima e a correspondente probabilidade de vitória de X

Se X vir dois discos pretos nos seus adversários, saberá que restam três discos brancos. Responderá então com absoluta segurança que possui um disco branco. Assim o evento E₇ lhe é favorável. Caso X veja dois discos brancos, saberá que restam dois discos pretos e um disco branco. Logo responderá possuir disco preto, contando com a probabilidade 2/3 de acertar. Conseqüentemente, o evento E₂ lhe é favorável e o evento E₁ lhe é desfavorável. Suponhamos agora que X tenha visto um disco branco e um disco preto em seus concorrentes. Concluirá que restam dois discos brancos e um disco preto. Logo, deverá responder que possui um disco branco, contando com a probabilidade 2/3 de acertar. Segue que os eventos E3 e E₄ lhe são favoráveis e o evento  E₆  lhe é desfavorável.

Em resumo, usando essa estratégia, X irá acertar na hipótese de ter ocorrido qualquer um dos eventos disjuntos E₂,  E₃,  E₄ ou E₇ e irá errar se houver   E₁,   E₅   ou   E₆.   Segue-se, então, que:

Isto mostra que a probabilidade vitória do príncipe Camozã, o primeiro candidato, é de 70%, contando com a sua sabedoria.

Conclusão

Vimos que a probabilidade de o príncipe Camozã responder corretamente a respeito da cor do seu disco é de 70%, restando assim apenas 30% de probabilidade para que os outros dois príncipes tivessem chance de serem apenas interrogados.

Considerando ainda que Aradim só seria interrogado caso Benefir (o segundo interrogado) também errasse, pode-se mostrar que ele é o que teria a menor chance de ser escolhido como noivo de Dahizé.

No entanto, Aradim é possuidor de muita sorte, pois os dois primeiros concorrentes erraram. Mas, sem sombra de dúvidas, ou ele é o menos sábio entre todos ou faltou-lhe coragem para protestar quando os dois outros passaram à sua frente.

Só para completar, a probabilidade de Benefir acertar é de 20% e a probabilidade do príncipe Aradim acertar é de apenas 10%.

Referências

Tahan, Malba — O Homem que calculava. 32. ed. Rio de Janeiro, Record, 1986.

NR: A rehabilitação de Aradim

O leitor atento poderá não concordar com a conclusão desta história — afinal, o rei dissera que os príncipes deveriam justificar a resposta correta.

Fica a pergunta do que o rei entendia por "justificar".

Seria aceitável, em caso de dúvida, uma adivinhação educada, isto é, uma opção pela alternativa mais provável? Ou seria necessária uma explicação lógica de como se chegou à única alternativa correta possível? Neste caso, quais seriam as probabilidades de vitória de cada um dos três concorrentes?