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Lendo
o excelente artigo "Sobre critérios de divisibilidade" (RPM
6, p. 21), vimos a possibilidade de, talvez, complementá-lo, dando um
outro enfoque ao assunto: parece-nos ser possível, já em nível de 5.ª
ou 6.ª séries, usando uma linguagem bem simples, transmitir
as idéias por trás da palavra
"congruência" e usar estas idéias
para calcular os restos da divisão de um inteiro por 2, 3, 4, 5, etc.
Como caso particular (resto zero) podemos obter os critérios de
divisibilidade. Professores que fizeram esta experiência têm relatado
bons resultados.
Vamos
considerar uma nova igualdade: =
2
(*) Dizemos
que "a é igual a b módulo 2" e escrevemos a = 2b, se a e b
deixarem o mesmo resto quando divididos por 2. Assim,
0 = 22 = 24 = 26
= 2..., ou seja, todos os números
pares são "iguais módulo 2" porque deixam resto O quando
divididos por 2. Também,
l =23 = 25 = 2
..., isto é, todos os números ímpares são "iguais módulo 2"
porque todos deixam resto l quando divididos por 2. Portanto,
todos os números naturais são "iguais módulo 2" a 0 ou a l. Geometricamente
podemos enxergar esta "igualdade" dividindo uma circunferência
em 2 partes iguais e "enrolando" os números naturais na
circunferência, de modo que, sucessivamente, caiam nos pontos de
divisão. ___________ (*) Na verdade, vamos definir a "congruência módulo 2" (  ). O professor pode optar
entre usar o símbolo e terminologia já consagrados ou introduzir um símbolo
e terminologia novos talvez mais sugestivos para alunos do 1° grau,
como os deste artigo.
0 = 22 = 24 = 2 ... (a
relação =2 é uma relação de
equivalência e os conjuntos {0, 2, 4, 6, ...}
e { 1,3, 5, 7, ...} são
as duas classes de equivalência que esta relação determina em IN.
Dependerá de cada professor usar, ou não, esta linguagem mais formal.
Ela não é necessária para transmitir as ideias.) A
"igualdade módulo 2" respeita a adição e a multiplicação
no seguinte sentido (veja no final do artigo as definições gerais):
Em
geral,
Sabemos
que basta olhar para o último algarismo de um número natural para
saber se ele é ou não divisível por 2. Por que isto é verdade?
Pensemos em termos da nova igualdade: 358 = 3 x 102 + 5 x 10 + 8 mas 10 =2 0 e 102 =2 0, então 358 =23 x 0 + 5 x 0 + 8=2 8, e como
8 = 2 0, 358 =2 0. Outro
exemplo: 1235 = l x
103 + 2 x
102 + 3 x 10 +
5 =2 0 + 0 + 0 + 5 = 25 e como 5
= 21,
1235 = 2 l Vê-se
então que
Se
este for igual a zero módulo 2, o número dado é divisível por 2 e se
for igual a l módulo 2, o número dado deixa resto l na divisão por 2.
Vamos
considerar outra igualdade: =
3 . Dizemos que "a é igual a b módulo 3" e escrevemos a = 3b se a e b deixarem o mesmo resto quando divididos por 3. Com esta definição
teremos:
0
=3 3 -3 6 =3 9
=3... A
igualdade módulo 3 faz com que todos os números naturais sejam "iguais
módulo 3" a 0, l ou 2.
Geometricamente
esta igualdade se torna visível se dividirmos uma circunferência em
3 partes iguais e nela "enrolarmos" os naturais de modo que,
sucessivamente, caiam nos pontos de divisão (figura acima).
Em
geral,
A igualdade módulo 3 nos permite calcular facilmente o resto da divisão
de um número natural por 3. Por
exemplo: Qual é o resto da divisão de 2345 por 3? 2345
= 2
mas 10 =3 l
e, portanto, 102
= 3 l x
l = 3 l ; 103
=3 l; então 2345 =3 2 x l3 + 3 x l2 + 4 x l + 5 =3=3 2 + 3 + 4 + 5 =3 14 =3 2
e,
em geral
Sendo
2345 =32 + 3 + 4 + 5, o resto da divisão de 2345 por 3 é igual ao resto da
divisão da soma de seus algarismos por 3 e, por este caminho
justifica-se o "critério de divisibilidade por 3":
um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos for divisível
por 3. Assim
12345 =31 + 2 + 3 + 4 + 5
= 315 = 30
e, portanto, deixa resto 0 na divisão por 3, ou seja, é divisível
por 3. Também,
problemas do seguinte tipo podem ser resolvidos facilmente: Qual é o resto da divisão de 7 x 23 por 3?Já vimos que 7 = 31 e 23 =32 e, portanto, 7 x 23 = 2 2, isto é, o resto da divisão de 7 x 23 por 3 é 2.Qual
é o resto da divisão de 7100
por 3?
7100 = 7 x 7 x 7 x ... x 7. 7100 = 3 1 x l x l x ... x l =3 l,ou
seja, 7100,
dividido por 3 deixa resto l. (Há um aspecto de quase magia neste tipo
de cálculo que pode bem ser explorado.)
Dizemos que a =
Todo
número natural é "igual módulo 4" a
0, 1,2 ou 3, e, como
nos casos anteriores
Como
se calcula o resto da divisão de um número por 4? Por exemplo, qual é
o resto da divisão de 3528 por 4? 3528 = 3 x 103 + 5 x 102 + 2 x 10 + 8.Mas 10 = 4 2 e 102 = 42 x 2 = 44 = 40; 103 = 4 0, etc.
Então 3528 = 4 3 x 0 + 5 x 0 + 28 = 4 0.Assim,
o resto da divisão de 3528 por 4 é o mesmo que o resto da divisão de
28 por 4 e, em geral,
Daí,
a regra usual: um número é divisível por 4 se o número formado pelos
seus dois últimos algarismos for divisível por 4. Analogamente,
qual é o resto da divisão de 10570 por 4? 10570 = l =4 0 + 0 + 0 + 70 = 4 70 = 4 2, e,
portanto, o resto da divisão de 10570 por 4 é 2. Também
aqui há lugar para "magias": Calcule,
sem efetuar o produto, o resto da
divisão de 123456789 x 876543 por 4. 123456789 = 4 89
= 4 l e 876543 = 4 43 = 43 O
resto da divisão é 3.
Dizemos
que a = 5b se a e b deixarem o mesmo resto
quando divididos por 5.
Continuam
válidas as propriedades:
Passemos ao estudo da divisibilidade. Por exemplo, 328 é divisível por 5? Temos 328 = 3 x 102 + 2 x 10 + 8. Mas 10 = 5 0 e, portanto 328
= 5 3 x 0 + 2
x 0 +
8 = 5 8 = 5 3. 328 não é divisível por 5 pois deixa
resto 3 na divisão por 5.
Nos casos estudados até agora, de divisibilidade por 2, 3, 4 e 5, obtivemos os restos das divisões com grande facilidade porque 10 =2 0; 10 =3 l; Já
na "igualdade módulo 6",
embora teoricamente tenhamos definições e propriedades análogas às
anteriores, os cálculos a serem efetuados
para obter o resto da divisão de um número por 6 ficam mais
trabalhosos, pois 10 = 6 4, 102 = 6 4 Assim,
para provar que 14316 é divisível por 6 poderíamos escrever (como nos
casos anteriores): 14316 = l x 104 + 4 x 103 + 3 x 102 + l x 10 + 6= 6 1 x 4 + 4 x 4 + 3 x 4 + 1 x 4 + 6 = 6=
6
4(1 + 4 +
3 + l) +
6 = 6 36 + 6 = 6 42 = 60. Mas
fica bem mais fácil lembrar que um número é divisível
por 6 se e somente se for divisível por 2 e 3. Como 14316 = 20 e
14316 = 30, 14316 é divisível por 2 e por 3 e,
portanto, por 6. Qual
é o resto da divisão de 7328 por 6? 7328
= 7 x 103
+ 3 x 102
+ 2 x 10 +
8 =6 7
x 4 + 3 x 4 + 2 x 4 + 8 = 6 56 = 62 isto
é, o resto da divisão de 7328 por 6 é igual a 2. O
processo acima não é muito prático, mas, aproveitando as idéias,
podemos improvisar: 7328
= 6 7200 + 128 = 6 128 = 6 120 +
8 = 6
8=
6
2 isto
é, eliminamos do número, o mais rapidamente possível, os múltiplos
de 6. A rapidez do processo dependerá das escolhas destes múltiplos.
Repetindo
os procedimentos anteriores chegaremos a um critério de divisibilidade
por 7, pouco prático, já que
e,
para as demais potências de 10, os resultados se repetem: 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, ...
Para calcular o resto da divisão de 21861 por 7 podemos escrever:
e,
portanto 21861 é divisível por 7. Certamente
é mais rápido dividir 21861 por 7 e ver qual é o resto, ou então, escrever:
Outros
critérios Os
critérios de divisibilidade por 8, 9, 10, etc.
podem ser estudados de modo análogo a estes. Epílogo Nas
páginas anteriores estudamos casos particulares de congruência e suas
propriedades. (Ver também a RPM 7, p. 25) Em
geral, seja m um número natural maior do que l, a e b
inteiros: Definição. a é côngruo a b módulo w se e somente se m\a - b. Notação: a =
b mod m Teorema
l. a
Teorema
2. "Congruência
módulo
m" é uma relação de
equivalência em Z, compatível com a adição e multiplicação
em Z. Teorema
3. O
conjunto quociente Z/ Estes elementos são representados por
0, l, 2, ...,
m Somente
estes fatos foram usados no artigo. As demonstrações dos teoremas podem ser
encontradas em "Iniciação
às Estruturas Algébricas" de L. H. Jacy
Monteiro — GEEM, em "Introdução
à Álgebra" de Adilson Gonçalves
— Projetos Euclides
e em muitos outros livros. O
professor, sem caprichar muito, faz um
desenho no quadro negro e diz: "Vamos provar que os triângulos ABC e
A'B'C' são congruentes". |
b mod m se e somente
se a e b deixarem o mesmo resto na divisão por m.
l.