A precisão do furo cilíndrico

Luiz Márcio Imenes
FUNBEC

Sérgio Roberto Nobe foi meu aluno há cerca de 15 anos. Hoje é professor da UNESP, em Rio Claro. Enquanto fazia o curso de Matemática na UNICAMP, foi professor nos cursos técnicos do SENAI. Certa vez, descreveu-me um processo, usado pêlos técnicos de uma indústria, para verificar a precisão de um furo cilíndrico praticado numa peça.  

solda

Já não me lembro de certos detalhes. Vou resumir o relato, ignorando alguns aspectos técnicos.
Consideremos três bastões cilíndricos, metálicos, de mesmo raio r. Este raio deve ter uma medida conveniente, como veremos seguir. Os três cilindros são fixados uns aos outros (com solda, p exemplo), formando um conjunto solidário.

O raio r deve ser calculado de modo que, ao introduzir este conjunto no furo cilíndrico, os três bastões se ajustem sem folga.
Girando o conjunto percebemos se o furo praticado na peça é, de fato cilíndrico. Ele deve girar "sem pegar" e sem folga.

Pois bem, a execução deste processo exige a solução de um problema de Geometria. Na figura seguinte, os três círculos menores têm mesmo raio r, são tangentes entre si dois a dois e cada um deles é tangente ao círculo maior de raio R.

Devemos calcular r em função de R.

Vamos resolver o problema.

O triângulo ABC é equilátero e seu lado é igual a 2r. O ponto D é seu baricentro, logo

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo AMC, temos: 
CM2 = (2r)2 – r2 = 3r2 ou

como OC = OP - PC = R - r,  

O valor aproximado de deve ser calculado considerando-se a precisão dos instrumentos de medida usados na indústria. Se, por exemplo, trabalhamos com décimos de milímetro e R = 10,00 cm, deveremos ter:

r = 0,464 x R = 4,64 cm.  

 

     Trigonometria na oficina mecânica.  

Pedro Firmino da Silva
São Roque, SP  

Este problema foi-me apresentado por um torneiro mecânico, que desejava fazer 6 furos na base de uma peça de forma cilíndrica. A peça ficaria assim:
O diâmetro da base media 120 mm e os furos deveriam distribuir-se igualmente sobre uma circunferência imaginária de diâmetro 100 mm.  


barra milimetrada fixada à peça  

Este problema pode ser resolvido graficamente com muita simplicidade, usando-se um compas­so. Entretanto, o torneiro dispu­nha apenas de um outro instru­mento que ele chamou de altímetro. Vou apresentá-lo esquematicamente. Ele é constituído por uma barra milimetrada e uma ré­gua que desliza perpendicularmene à barra. Esta é fixada à peça.
Para resolver o problema, primeiro desenhamos, com a régua  móvel, um diâmetro da base.

Sobre ele marcamos os centros dos dois primeiros furos, que ficarão afastados de 100 mm.
Imaginaremos o problema resolvido. Seja r a reta que contém o diâmetro.
Com a divisão da circunferência em 6 partes iguais, obtemos ângulos centrais de 60°. As retas s e t são paralelas à reta r e suas distâncias a ela são iguais a

Deste modo, com a régua móvel, desenhamos as retas s e t, sobre as quais estarão os outros quatro furos.

A régua móvel, sempre perpendicular à barra fixa, executa um movimento de translação. Como não é possível transladar a barra (que é fixa), giramos o altímetro de 90°, colocando a barra sobre o diâmetro desenhado.
Outra vez, imaginamos o problema resolvido. A distância e é dada por:

e = 50 . sen 30° = 25 mm

Assim, deslocando a régua móvel, marcamos os centros dos outros quatro furos.