Perguntas devem ser enviadas para
RPM  - O Leitor Pergunta
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01498 São Paulo — SP  

    

— Um leitor de Lavras, MG, enviou, entre outros, o seguinte problema à RPM: "Um rajá deixou pérolas como herança para suas filhas, determinando que a divisão se faria do seguinte modo: a filha mais velha tiraria I pérola e 1/7 do restante; viria depois a 2° filha e tomaria para si 2 pérolas e 1/7 do restante; a seguir, a 3° filha tomaria 3 pérolas e 1/7 do restante; e assim, sucessivamente, agiriam as demais. Feita a partilha, cada uma das herdeiras recebeu o mesmo número de pérolas. Qual o numero de pérolas e quantas eram as filhas do rajá?"

RPM: Se n era o número de pérolas, a lª filha recebeu

obtemos o único valor possível para o número de pérolas: n = 36 que, felizmente, resolve o problema. De fato eram 6 filhas e cada uma recebeu 6 pérolas seguindo as instruções do pai rajá.  

 

— Um leitor de Fortaleza, CE, manifesta sua curiosidade a respeito das chamadas Equações Diofantinas.

RPM: Equações Diofantinas (de Diophantus, Alexandria, séc. III) é um nome dado, em geral, às equações algébricas, em uma ou mais variáveis, com coeficientes inteiros e das quais se procuram somente as soluções inteiras. Muitos problemas ligados à resolução de equações diofantinas de grau n 2 continuam em aberto e seu estudo tem gerado um grande desenvolvimento em certas áreas da Matemática. Quanto às equações diofantinas de 1° grau, a duas variáveis, ax + by = c, a, b, c , sabe-se que elas têm solução (em Z) se, e somente se, c for divisível pelo máximo divisor comum de a e b. Sabe-se ainda que, quando tem solução, esta equação admite uma infinidade de soluções. Com efeito, vista, por exemplo, no livro de L.H. Jacy Monteiro, Elementos de Álgebra, onde convém olhar a teoria do máximo divisor comum em Z. O exemplo a seguir dá uma idéia de um processo de resolução de uma destas equações:

"Ache as soluções inteiras de 5x + 22y = 18"

Como mdc(5, 22) = l, a equação tem solução. Podemos escrever

 

— Um leitor do Recife, PE, faz duas perguntas, cujas respostas podem ser dadas a partir de matéria exposta na RPM. Pede-nos para provar que o número

é racional e para calcular o resto da divisão por 9 do seguinte número:

RPM: A l* pergunta está ligada ao artigo publicado na RPM 7, p. 26. Se chamamos

Estudando esta equação, cujo 1° membro é estritamente crescente e, portanto, admite uma só raiz real, verifica-se que a + b = 2 que é o número dado. Você pode verificar que a fórmula de resolução aplicada a esta equação dá exatamente o número 2 escrito na forma a + b.

Quanto à 2ª pergunta, está respondida no artigo de L. R. Dante, Restos, Congruências e Divisibilidade (p. 33). De fato, devido às propriedades das congruências tem-se:

(72342)3 + (2422)5 . (4388) = 03 + l5 . 5      (mod 9).

Donde o resto da divisão deste número por 9 é 5.  

 

— Um leitor de São Paulo, SP, estranha o uso da nomenclatura de número complexo para números como e números lh30min 20seg ou 85° 12'35". Qual a semelhança entre eles?

RPM: Não há relação entre os números complexos da forma a + bi e os números complexos que aparecem como medidas de tempo e ângulo. Todavia, não há mal em conservar esta nomenclatura, pois o contexto tornará evidente o significado de número complexo em cada caso. De semelhante eles têm o fato de que ambos são formados por elementos mais simples, que é a idéia da palavra complexo. O número a + bi é formado por suas partes real e imaginária, a medida de tempo envolve número de anos, meses, dias, etc. e a de ângulos, graus, minutos e segundos. Também em Geometria o termo complexo é usado quando se considera um poliedro formado por seus vértices, arestas e faces.  

 

— Um colega de Campos, RJ, propôs aos seus alunos o problema da planificação de prismas oblíquos cujas bases fossem polígonos regulares. Cada aluno trabalhou livre e independentemente e um fato se repetiu: prismas oblíquos de bases regulares com número impar de lados só fechavam quando uma das faces era retangular. Foi uma coincidência ou é um fato? Como provar?

RPM: Você fez bem em desconfiar desse resultado e pedir uma prova. Como você pode ver pela figura, o que houve na classe foi mera coincidência.

É possível obter um prisma oblíquo a partir de um prisma reto por meio do "deslocamento" de uma base, de forma que as arestas fiquem paralelas a uma outra direção. Neste caso, têm-se:

a) se a nova direção for paralela a um plano perpendicular a uma das faces antigas, o novo prisma

A figura apresenta a planificação de um prisma oblíquo cuja base é um triângulo equilátero.

(agora oblíquo) terá uma face retangular (que corresponderá à face perpendicular ao plano). 
b) para todas as outras novas direções as faces serão paralelogramos não-retângulos.

Acho que todos nós aprendemos com a experiência que vocês fizeram.

Parabéns.