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49. Sabe-se que cada uma dentre as pessoas
A, B e C diz a verdade
em qualquer situação, com probabilidade 1/3. Suponha que A faça
uma afirmação e que C diz que B diz que A falou a
verdade. Qual a probabilidade de que A realmente tenha falado a
verdade? 50.
Calcule o comprimento de DE na figura abaixo:
)Enviado
por Nelson Tunala, Rio de Janeiro, RJ)
51. São n pessoas com pesos (em quilogramas)
a) qual
deve ser a capacidade mínima (em quilogramas) de transporte do bote
para que seja possível essa travessia com segurança? b)
nessas condições, qual o número total mínimo de viagens realizadas? (Sugestão
dos alunos da disciplina Seminário de Problemas do curso de
licenciatura noturno do IME-USP. Este problema foi "bolado" a
partir do seguinte: Um homem que pesa 80 quilos e seus 2 filhos
pesando cada um 40 quilos querem atravessar um rio. Se eles tiverem apenas
um bote que tem capacidade de carregar com segurança somente 80 quilos,
qual será a maneira de eles atravessarem o rio?)
52.
Seja a uma constante real. Elimine
(Enviado
por Tsunediro Takahashi, de Ribeirão Pires, SP e Cristiano França de
Mendonça, de Uberaba, MG.} 53. Dê
exemplo de uma equação da forma x3 + ax2 + bx
+ c = 0 com a, b, c racionais, que tenha 3 raízes reais
irracionais e exiba essas raízes.
(Ver
respostas na
seção "Cartas do leitor")
44. Visando motivar os apostadores, a Caixa Econômica aprovou a ampliação de 13 para 16 do número de jogos de cada teste da Loteria Esportiva, a partir de março de 87, com prêmios para os que acertarem 15 ou 16 dos prognósticos. A reação de um amigo foi: Se já era difícil acertar 13, quanto mais 15 ou 16! Mostre, por meio do cálculo de probabilidades, que este amigo está certo quanto aos 16, mas não quanto aos 15. Solução: Vamos
supor que cada uma das três colunas de cada jogo tenha a mesma
probabilidade de ocorrer, ou seja, não há times favoritos, e efetuar
os cálculos para a aposta mínima permitida, isto é, apenas um
duplo.
Logo, acertar 16 em 16 é mais difícil
do que acertar 13 em 13. Se
o teste apresentar 16 jogos, a ocorrência de 15 acertos poderá dar-se
de duas maneiras diferentes: a)
errando-se apenas um dos jogos simples, com probabilidade
b)
errando-se apenas o jogo duplo, com probabilidade
Assim, a
probabilidade de acertar 15 em 16 jogos (com apenas um duplo) é:
A
área do
(Solução
enviada por Sérgio Dalmas, de São Vicente, SP.)
Considerando
então os números consecutivos 249999 - l, 249999,
249999 + l, um desses números deve ser divisível por 3.
Mas 249999 não é divisível por 3 pois, do contrário, como
3 é primo, 3 dividiria 2. Segue-se que um dos outros dois números é
divisível por 3. Dai o produto deles é disivível por 3. Portanto,
48. Num
icosaedro regular de aresta a cada vértice está ligado a 5
outros vértices formando uma pirâmide pentagonal. Calcule a altura
dessa pirâmide. Solução: Sejam h = altura da pirâmide, R =
raio da circunferência circunscrita a um pentágono regular convexo de
lado a.
Temos que a, h e R formam um triângulo
retângulo e assim
(Solução
enviada por Nelson Tunala, do Rio de Janeiro, RJ) Nota:
Nosso colega Sérgio Dalmas, de São Vicente, SP, descobriu que a solução
do problema n? 33, apresentada na RPM 8, está errada pois foi feita uma
hipótese, com perda de generalidade. Ele nos mandou também uma solução
correta que é a seguinte:
Somando-se, membro a membro, as desigualdades (l) e (2), obtemos
Somando-se, membro a membro, as desigualdades
(3) e (4), obtemos
Pedimos
desculpas aos leitores e, particularmente, ao colega Dalmas pelo atraso
da publicação desta nota.
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das equações abaixo:
ABC eq
DEF
