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Rubens Robles Ortega Junior
O assunto equações algébricas é, em geral, estudado na 3a série do ensino médio e, para equações com grau maior do que 2, os estudantes aprendem as relações entre coeficientes e raízes, a determinar possíveis raízes racionais e a utilizar o algoritmo de Briot-Ruffini. Há, entretanto, alguns métodos numéricos para determinar raízes que poderiam ser apresentados aos estudantes. Um deles é o método da bisseção. Neste texto, vamos apresentar esse método e utilizá-lo para determinar a raiz real de uma equação de 3o grau. O MÉTODO DA BISSEÇÃO O método da bisseção [4] é um método numérico bastante simples, eficaz e intuitivo para determinação de raízes de equações algébricas, e está baseado no Teorema do Valor Intermediário [1] aplicado a funções polinomiais que garante que se P(x) = αnxn + αn – 1xn – 1 + ... + α2x2 + α1x1 +α0, αi número real, i = 0, 1, 2, ..., n, é tal que existem dois números reais a e b tais que P(a).P(b) < 0, então a equação P(x) = 0 possui pelo menos uma raiz no intervalo (a, b), isto é, existe um número real r pertencente a (a, b) tal que P(r) = 0. Esse resultado, embora precise de conteúdos de um curso superior de Matemática para ser demonstrado, é bastante intuitivo, bastando pensar no gráfico da função polinomial: se P(a).P(b) < 0, então P(a) e P(b) têm sinais contrários, isto é, os pontos (a, P(a)) e (b, P(b)) estão, um acima e outro abaixo do eixo horizontal. Logo, o gráfico de y = P(x) precisa cortar o eixo horizontal em algum ponto com abcissa entre a e b, digamos r, isto é, P(r) = 0 e r é raiz de P(x) = 0. Vejamos agora um algoritmo (método da bisseção) que fornece uma sequência de números que converge para a solução r procurada:
Chamando o intervalo inicial, ou 1a etapa, (a, b) de (a1, b1) e seu ponto médio, c, de c1; – chamando o intervalo obtido na 2a etapa, nos passos 4 ou 5, de (a2, b2), isto é, (a2, b2) = (a1, c1) ou (a2, b2) = (c1, b1), e seu ponto médio de c2, – chamando os elementos da 3a etapa de (a3, b3) e seu ponto médio de c3; ... – chamando os elementos da n-ésima etapa de (an, bn) e seu ponto médio de cn, obtemos três sequências de números (an), ( bn) e (cn) tais que: Como a raiz r procurada está em todos os intervalos (an, bn), n = 1, 2, ..., temos Vamos exemplificar o método da bisseção para calcular a raiz real da equação x3 + x – 1 = 0 (mostraremos mais à frente que essa equação tem apenas uma raiz real). Para P(x) = x3 + x – 1, têm-se P(0) = – 1 e P(1) = 1; logo, existe um número real r, 0< r <1, tal que P(r) = 0. Vamos determinar r, com aproximação de 4 casas decimais, usando o método da bisseção com intervalo inicial [0, 1]. Para determinar os valores constantes na tabela a seguir, usamos uma planilha do Geogebra; o leitor poderá usar qualquer outro software adequado que faça os cálculos necessários. NA TABELA Todos os valores estão com aproximação de quatro casas decimais e:
A FÓRMULA PARA A EQUAÇÃO DO 3o GRAU Em [2] e [3] está mostrado que uma equação geral do terceiro grau, com coeficientes reais, ax3 + bx2 + cx + d = 0, sempre pode, com uma conveniente substituição de variável, ser reduzida a uma equação do tipo y3 + py + q = 0 e que satisfaz a equação, ou seja, essa expressão fornece uma raiz de y3 + py + q = 0. Em [1] está demonstrado o seguinte resultado para a equação y3 + py + q = 0: Sendo
Na equação do nosso exemplo, x3 + x – 1 = 0, tem-se Essa raiz também pode ser obtida algebricamente usando a fórmula apresentada.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] Lima, E. L. Análise real, volume 1. Coleção Matemática Universitária. Rio de Janeiro, IMPA, 2012. [2] Lima, E. L. A equação do terceiro grau. Matemática Universitária, No 5. SBM, 1987. [3] Moreira, C. G. T. A. Uma solução para equações do 3o e 4ograus. Revista do Professor de Matemática, No 25. SBM, 1994. [4] Satuf, F. O método da bisseção. Matemática Universitária, No 36. SBM, 2004. |