Rubens Robles Ortega Junior
UTFPR, Curitiba-PR
Thiago Phelippe Abbeg
Colégio Estadual de Guaraituba, Colombo-PR

O assunto equações algébricas é, em geral, estudado na 3^a série do ensino médio e, para equações com grau maior do que 2, os estudantes aprendem as relações entre coeficientes e raízes, a determinar possíveis raízes racionais e a utilizar o algoritmo de Briot-Ruffini. Há, entretanto, alguns métodos numéricos para determinar raízes que poderiam ser apresentados aos estudantes. Um deles é o método da bisseção. Neste texto, vamos apresentar esse método e utilizá-lo para determinar a raiz real de uma equação de 3^o grau.

O MÉTODO DA BISSEÇÃO

O método da bisseção [4] é um método numérico bastante simples, eficaz e intuitivo para determinação de raízes de equações algébricas, e está baseado no Teorema do Valor Intermediário [1] aplicado a funções polinomiais que garante que se

P(x) = α_nxⁿ + α_{n – 1}x^{n – 1} + ... + α₂x² + α₁x¹ +α₀, α_i número real, i = 0, 1, 2, ..., n, é tal que existem dois números reais a e b tais que P(a).P(b) < 0, então a equação P(x) = 0 possui pelo menos uma raiz no intervalo (a, b), isto é, existe um número real r pertencente a (a, b) tal que P(r) = 0.

Esse resultado, embora precise de conteúdos de um curso superior de Matemática para ser demonstrado, é bastante intuitivo, bastando pensar no gráfico da função polinomial: se P(a).P(b) < 0, então P(a) e P(b) têm sinais contrários, isto é, os pontos (a, P(a)) e (b, P(b)) estão, um acima e outro abaixo do eixo horizontal. Logo, o gráfico de y = P(x) precisa cortar o eixo horizontal em algum ponto com abcissa entre a e b, digamos r, isto é, P(r) = 0 e r é raiz de P(x) = 0.

Vejamos agora um algoritmo (método da bisseção) que fornece uma sequência de números que converge para a solução r procurada:

1. Se P(a).P(b) < 0, então existe pelo menos uma raiz da equação P(x) = 0 no intervalo (a, b).

2. Calcula-se , ponto médio do intervalo (a, b).

3. Se P(c) = 0, c é a raiz procurada, r = c.

4. Se P(a).P(c) < 0, então a raiz estará no intervalo (a, c). Passamos então a trabalhar no intervalo (a, c).

5. Se P(a).P(c) > 0, então a raiz estará no intervalo (c, b). Passamos então a trabalhar no intervalo (c, b).

6. Repete-se, iterativamente, o procedimento anterior, até que se chegue à aproximação que for desejada.

Chamando o intervalo inicial, ou 1^a etapa, (a, b) de (a₁, b₁) e seu ponto médio, c, de c₁;

– chamando o intervalo obtido na 2^a etapa, nos passos 4 ou 5, de (a₂, b₂), isto é, (a₂, b₂) = (a₁, c₁) ou (a₂, b₂) = (c₁, b₁), e seu ponto médio de c₂, ;

– chamando os elementos da 3^a etapa de (a₃, b₃) e seu ponto médio de c₃;

...

– chamando os elementos da n-ésima etapa de (a_n, b_n) e seu ponto médio de c_n, obtemos três sequências de números (a_n), ( b_n) e (c_n) tais que:

Como a raiz r procurada está em todos os intervalos (a_n, b_n), n = 1, 2, ..., temos

, ou seja, os números c_n se aproximam de r quando n fica suficientemente grande.

Vamos exemplificar o método da bisseção para calcular a raiz real da equação x³ + x – 1 = 0 (mostraremos mais à frente que essa equação tem apenas uma raiz real).

Para P(x) = x³ + x – 1, têm-se P(0) = – 1 e P(1) = 1; logo, existe um número real r, 0< r <1, tal que P(r) = 0. Vamos determinar r, com aproximação de 4 casas decimais, usando o método da bisseção com intervalo inicial [0, 1].

Para determinar os valores constantes na tabela a seguir, usamos uma planilha do Geogebra; o leitor poderá usar qualquer outro software adequado que faça os cálculos necessários.

NA TABELA

Todos os valores estão com aproximação de quatro casas decimais e:

1. A célula A1, a ser preenchida pelo usuário, recebe o valor do extremo inferior do intervalo [a, b], que aqui é a = 0.

2. A célula B1, também a ser preenchida pelo usuário, recebe o valor do extremo superior do intervalo [a, b], que é b = 1.

3. A célula C1 será automaticamente preenchida com a média aritmética entre a e b, isto é, .

4. As células D1, E1 e F1 serão automaticamente preenchidas com os valores P(a), P(b), P(c), isto é, D1 = P(A1), E1 = P(B1) e F1 = P(C1).

5. As células A2 e B2 serão automaticamente preenchidas com os extremos do intervalo da segunda iteração.

6. As células C2, D2, E2 e F2 serão automa-ticamente preenchidas como na linha 1.

7. A partir da linha 3, cada linha n + 1 serápreenchida como na linha n, bastando usar o recurso copiar e colar.

8. Se aparecer zero na coluna F, a raiz da equação estará visível na coluna C da mesma linha. No nosso caso, o zero aparece na célula F14 e a raiz r = 0,6823 na C14.

A FÓRMULA PARA A EQUAÇÃO DO 3^o GRAU

Em [2] e [3] está mostrado que uma equação geral do terceiro grau, com coeficientes reais, ax³ + bx² + cx + d = 0, sempre pode, com uma conveniente substituição de variável, ser reduzida a uma equação do tipo y³ + py + q = 0 e que

satisfaz a equação, ou seja, essa expressão fornece uma raiz de y³ + py + q = 0.

Em [1] está demonstrado o seguinte resultado para a equação y³ + py + q = 0:

Sendo , então:

se Δ > 0, a equação tem uma raiz real e duas complexas conjugadas;

se Δ = 0, a equação tem três raízes reais, sendo uma repetida;

se Δ < 0, a equação tem três raízes reais, duas a duas distintas.

Na equação do nosso exemplo, x³ + x – 1 = 0, tem-se : logo, a equação tem apenas uma raiz real, que é, então, a determinada pelo método numérico da bisseção.

Essa raiz também pode ser obtida algebricamente usando a fórmula apresentada.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] Lima, E. L. Análise real, volume 1. Coleção Matemática Universitária. Rio de Janeiro, IMPA, 2012.

[2] Lima, E. L. A equação do terceiro grau. Matemática Universitária, No 5. SBM, 1987.

[3] Moreira, C. G. T. A. Uma solução para equações do 3o e 4ograus. Revista do Professor de Matemática, No 25. SBM, 1994.

[4] Satuf, F. O método da bisseção. Matemática Universitária, No 36. SBM, 2004.