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Maurício Zahn
Neste artigo vamos apresentar um resultado curioso referente à famosa sequência de Fibonacci. O leitor já deve ter visto essa sequência, definida recursivamente por: F1 = 1, F2 = 1 Fn+1 = Fn+ Fn–1, ou seja, cada termo de tal sequência, a partir do segundo, é obtido pela soma dos dois anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... Recordando, tal sequência foi descoberta pelo matemático Leonardo Fibonacci, um grande matemático nascido na Itália em 1175, na cidade de Pisa, razão pela qual ficou conhecido também como Leonardo de Pisa. O leitor poderá encontrar mais referências sobre essa sequência, por exemplo, nas RPMs 6, 17, 20, 24, 32, 45, 53 ou 57.
A relação curiosa Vamos considerar as representações decimais das seguintes frações:
e assim por diante. Usando um programa computacional adequado, obtemos:
Observe que os dígitos das representações decimais vão gerando os termos da sequência de Fibonacci! Vejamos a justificativa de tais resultados. Considere a função f: f(x) = Note que a expressão que define f pode ser representada por f(x) = Então, se x é tal que |x(1 + x)| < 1, podemos identificar a última expressão como a soma infinita da progressão geométrica (1, x(1 + x), x2(1 + x)2, ...) de razão q = x(1 + x). Ou seja,
1 + x(1 + x) + [x(1 + x)]2 + [x(1 + x)]3 + [x(1 + x)]4 + [x(1 + x)]5 + [x(1 + x)]6 + ... = 1 + x + x2 + x2(1 + 2x + x2) + x3(1 + 3x + 3x2 + x3) + x4(1 + 4x + 6x2 + 4x3+ x4) + + x5(1 + 5x + 10x2 + 10x3 + 5x4 + x5) + x6(1 + ... ) + ... = 1 + x + x2 + x2 + 2x3 + x4 + x3 + 3x4 + 3x5 + x6 + x4 + 4x5 + 6x6 + 4x7+ x8 + x5 + 5x6 + 10x7 + 10x8+ 5x9 + x10 + x6 + ... = 1 + x + 2x2 + 3x3 + 5x4 + 8x5 + 13x6 + ... = F1 + F2x + F3x2 + F4x3 + F5x4 + F6x5 + ... = Portanto,
Observações (para os leitores familiarizados com convergência de séries) 1. A manipulação algébrica feita na soma infinita 2. Temos Assim, para x = 0,1 temos
que, pela série infinita determinada, implica f(0,1) = 1 + 0,1 + 2(0,1)2 + 3(0,1)3 + 5(0,1)4 + 8(0,1)5 + 13(0,1)6 + 21(0,1)7 +... = = 1,1235 5056179775280898764044943820224719101123595505... Para x = 0,01 temos
que, novamente pela série, fica f(0,01) = 1 + 1(0,01) + 2(0,01)2 + 3(0,01)3 + 5(0,01)4 + 8(0,01)5 + ... = = 1,01 02 03 05 08 13 21 34 55 90463683200323264976260228... e assim por diante, atribuindo-se sucessivamente para x os valores 0,001, 0,0001, etc.
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n > 1,
= 1,235 50561797752808987640449438202247191011235955...
= 1,0102 03 05 0813 2134 55 90463683200323264976260228...
= 1,001 002 003 005 008 013 021034 055 089144 233...
= 1,0001 0002 0003 0005 0008 0013 0021 0034 0055 0089...
[x(1 +x)]n é permitida pelo tipo de convergência da série.
(ver RPM 45, p. 47); logo, a série 
