Vários conceitos básicos da Matemática, criados para atender a certas necessidades e resolver problemas específicos, revelaram posteriormente uma utilidade bem mais ampla do que a inicialmente pensada e vieram, com a evolução das idéias e o desenvolvimento das teorias, a adquirir uma posição definitiva de grande relevância nesta Ciência. Em alguns casos, a utilidade original foi, com o tempo, superada por novas técnicas, mas a relevância teórica se manteve.

 Ilustraremos essa observação com três exemplos.
 

Os logaritmos foram inventados no inicio do século 17, a fim de simplificar as trabalhosas operações aritméticas dos astrônomos, com vistas à elaboração de tabelas de navegação.

Com efeito, a regra log(xy) = logx + logy e suas conseqüências, tais como log(x/y)=logx–logy, log(xⁿ) = n ^. logx, log , permitem reduzir cada operação aritmética (exceto, naturalmente, a adição e a subtração) a uma operação mais simples, efetuada com os logaritmos. Esta maravilhosa utilidade prática dos logaritmos perdurou até recentemente, quando foi vastamente superada pelo uso das calculadoras eletrônicas.

A função logaritmo, entretanto, justamente com sua inversa, a função exponencial, permanece como uma das mais  importantes na Matemática, por uma série  de razões que vão muito além da sua utilidade como instrumento de cálculo aritmético. Por exemplo, a própria identidade log(xy) = logx + logy, a par do seu grande apelo estético, serve para mostrar que não existe diferença estrutural (intrínseca) entre as operações de adição de números reais e multiplicação de números reais positivos. Mas a  principal razão da relevância dos logaritmos (ou, o que é o mesmo, das exponenciais) provém de uma propriedade que já havia sido observada há cerca de 300 anos, sobre a  qual diremos algumas palavras agora.

As primeiras pessoas que se ocuparam da elaboração de tábuas de logaritmos não podem ter deixado de notar que, para pequenos valores de h, a razão [log(x+h) - logx]/h entre o acréscimo de logx e o acréscimo h dado a x é aproximadamente, proporcional a 1/x. Quando se usam os logaritmos naturais (que têm como base o numero “e”) a constante de proporcionalidade é igual a 1, de modo que o quociente [log(x+h) – logx]/h, para valores pequenos de h, é aproximadamente igual a 1/x. Daqui em diante, falaremos apenas de logaritmos naturais.

A inversa da função logaritmo y = logx é a função exponencial x = e^y, ou x = exp y. Portanto log (exp y) = y para todo y Î R e exp(logx) = x para todo x > 0. Quando atribuímos ao número y = logx um pequeno acréscimo k, o novo valor y + k passa a  ser o logaritmo de um número x + h, próximo de x. Podemos então escrever y + k = log(x + h), y = logx e k = log (x+h) – logx. Fazendo estas substituições, obtemos

onde significa “aproximadamente igual”.

Assim, a razão [exp(y+k) – expy] / k é, para pequenos valores de k, aproximadamente igual a expy.

Mais geralmente, se considerarmos a função f(y) = exp(cy), onde c é uma constante, teremos, para pequenos valores de k:

As observações acima se traduzem, em termos matemáticos, pelas afirmações de que a derivada da função y = logx é igual a 1/x (isto é, y’= 1/x) e que a derivada da função x = exp(cy) é x’= c ^. x.

Daí resulta a grande importância da função exponencial (e conseqüentemente da sua inversa, a função logaritmo) para descrever as grandezas cuja taxa de variação seja, em cada momento, proporcional ao valor daquela grandeza naquele momento. Exemplos de grandezas com essa propriedade são: um capital empregado a juros compostos, uma população (de animais ou bactérias), a radioatividade de uma substância, ou um capital que sofre desconto. Nos dois últimos exemplos, a grandeza diminui com o tempo, de modo que sua lei de variação é da forma x = a ^. exp(bt), com a = valor inicial, t = tempo e b < 0.

Resumindo: um matemático ou astrônomo do século 17 achava os logaritmos importantes porque eles lhe permitiam efetuar cálculos com rapidez e eficiência. Um matemático de hoje acha que a função logaritmo e sua inversa, a função exponencial, ocupam uma posição central na Análise Matemática por causa de suas propriedades funcionais, muito especialmente a equação diferencial  x’ = c^.x, a qual descreve a evolução de grandezas que, em cada instante, sofrem uma variação proporcional ao seu valor naquele instante.

Um número complexo tem a forma a + ib ou a + bi, onde a e b são números reais e a “unidade imaginária” i é um não número , tal que i² = -1. Por isso às vezes se escreve  . Os números complexos surgiram em Matemática a fim de tornar possível a  raiz quadrada de um número negativo. Por exemplo: . Conseqüentemente, toda equação do segundo grau passou a ter raízes. Por exemplo: a equação  possui as raízes complexas 1 + 2i e 1 – 2i.

Mais notável (e inesperado) é que, quando se acrescentou aos números reais o número i, de modo que passassem a existir as raízes ± i da equação , não foi mais necessário inventar novos números para que tivessem raízes todas as demais equações algébricas, sejam quais fossem os seus graus. Como efeito, o chamado “Teorema Fundamental da Álgebra”, cuja demonstração se deve inicialmente a Euler e d’Alembert e  posteriormente, em forma definitiva, a Gausse, diz que, dado qualquer polinômio p(z) = a₀ + a₁z + ... + a_nzⁿ existem números complexos r₁, r₂, ... r_n tais que:

Segue-se  daí que

p(r₁) = 0,  p(r_n) = 0, ...,  p(r_n) = 0, isto é os números complexos r₁, r₂, ...r_n são as raízes da equação algébrica p(z) = 0.

Assim os números complexos, introduzidos em Matemática para que tivessem raízes as equações algébricas do segundo grau, são suficientes para dotarem de raízes as equações do terceiro, quarto,e quinto e todos os demais graus.

Este fato somente já é responsável em boa parte pela relevância matemática dos números complexos, indispensáveis em Álgebra Linear, Equações Diferenciais e em várias situações nas quais, mesmo que se desejem estudar apenas questões relativas a números reais, é indispensável considerar números complexos para se obter a solução real desejada.

Um exemplo do fenômeno acima mencionado, aliás, já havia ocorrido na Renascença, nos trabalhos dos algebristas italiano Ferro, Tartaglia, Cardano e Ferrari que culminaram com a descoberta das fórmulas de resolução das equações do terceiro e quarto grau.

A fórmula da equação do terceiro grau envolve raízes quadradas e cúbicas. Cardano  notou que algumas equações do terceiro grau têm as 3 raízes mas na fórmula que as fornece ocorrem raízes quadradas de números negativos. Assim, para chegar a essas raízes reais, é preciso primeiro passar pelos números complexos. Hoje em dia já se sabe (é um teorema) que se os coeficientes de uma equação do terceiro grau são números inteiros e as 3 raízes são números reais irracionais então é impossível exprimir essas raízes por meio de fórmulas nas quais os coeficientes são submetidos a operações algébricas e radicais, sem que em algum lugar apareça a raiz quadrada de um número negativo.

Não se julgue, entretanto, que a importância dos números complexos resulta apenas do Teorema Fundamental da Álgebra. Eles se fazem presentes em praticamente todos os grandes ramos da Matemática como Álgebra, Teoria dos Números, Topologia, Geometria (Analítica, Diferencial ou Algébrica), Análise, Equações Diferenciais e em aplicações como Física Matemática, Dinâmica dos Fluidos, Eletromagnetismo, etc. A Teoria das Funções de Variável Complexa é uma área nobre, de grande tradição matemática e, ao mesmo tempo, com notável vitalidade, refletida na intensa atividade de pesquisa que se desenvolve nos dias atuais.
 

A trigonometria foi inventada há mais de dois mil anos. Ela consiste, essencialmente, em associar a cada ângulo a certos números como cos (o cosseno de ) e sen (o seno de ), cada um dos quais representa, de certo modo, uma espécie de “medida” daquele ângulo. Melhor dizendo, esses números constituem um grande passo à frente nos estudos das chamadas “relações métricas” nos triângulos porque estas, tradicionalmente, estabelecem fórmulas que relacionam entre si comprimentos de segmentos (tais como lados, alturas, bissetrizes, etc.) enquanto as funções trigonométricas relacionam ângulos com lados.

A base teórica na qual se fundamentou originalmente a Trigonometria foi a semelhança de triângulos. Dado um ângulo agudo , constrói-se um triângulo retângulo ABC, do qual  = BÂC seja um dos ângulos. Se AC é a hipotenusa, define-se cos = AB/AC e sen = BC/AC. Se tivéssemos construído qualquer outro triangulo AB’C’ de modo análogo, ele seria semelhante a ABC por ter um ângulo agudo comum, logo AB/AC = AB’/AC’ e BC/AC =  B’C’/AC’. Portanto, a semelhança de triângulos garante que as definições de cos e sen são coerentes, isto é, não dependem de qual tenha sido o triângulo retângulo ABC escolhido.

A relação fundamental entre cos a e sen a é a fórmula  cos² + sen² = 1. (É um costume antigo e conveniente escreve-se cos² e sen² em vez de (cos)² e (sen)² respectivamente.) Esta fórmula resulta imediatamente do Teorema de Pitágoras, segundo o qual (AC)² = (AB)² + (BC)².

Se o ângulo é obtuso (maior que 1 e menor do que 2 retos) considera-se seu suplemento ’ e põe-se, por definição cos = -cos ’, sen = sen ’.

A motivação original da Trigonometria foi o problema da “resolução de triângulos”, que consiste em determinar os 6 elementos de um triangulo (3 lados e 3 ângulos) quando se conhecem 3 deles, correspondentes aos 3 casos clássicos de congruência (3 lados, ou 2 lados mais o ângulo compreendido, ou 2 ângulos mais o lado compreendido).

O surgimento do Cálculo Infinitesimal e, posteriormente, de seu prolongamento teórico, a Análise Matemática, veio dar uma nova dimensão às noções básicas da Trigonometria, como seno, cosseno e às noções associadas de tangente, secante, etc. Para isso, é indispensável, considerar as funções cos t e sen t definidas para todo número real t. Ou seja, é preciso falar em cosseno e seno de um número, em vez de um ângulo. Essa transição é feita por meio de uma função E, que chamaremos a função de Euler.

O domínio da função de Euler é o conjunto R dos números reais. Seu contra-domínio é o círculo unitário do plano, que representaremos por S¹. Assim, a cada número real t, a função E faz corresponder um ponto E (t) do círculo S¹.

Para definir precisamente o círculo S¹, introduzimos no plano um sistema de coordenadas cartesianas, de modo que todo ponto z do plano passa a ser representado como um par ordenado z = (x, y), onde x é a  sua abscissa e y sua ordenada. Pelo Teorema de Pitágoras, a distância do ponto z = (x, y) ao ponto w = (u, v) é Em particular, a distancia de z = (x, y) à origem 0 = (0,0) é igual a

O círculo unitário S¹ é, por definição o conjunto dos pontos do plano cuja distância à origem é igual a 1. Assim, o ponto z = (x,y) pertence a S¹ se, e comente se,  ou, o que é mesmo, x² + y² = 1.  Por exemplo, os pontos (1,0), (0,1), (1/2, pertencem a S¹.

Note que o “circulo” S¹ é, na realidade, uma circunferência. A este respeito, vide a página 8 da RPM número 1.

Agora definiremos a função E: R S¹. Dado o número real t > 0, medimos no círculo S¹, a partir do ponto U = (1,0), um arco de comprimento t, sempre percorrendo o círculo no sentido positivo (contrário ao movimento dos ponteiros de um relógio, ou seja, o sentido que nos leva de (1,0) a (0,1) pelo caminho mais curto em S¹ ). A extremidade final deste arco é o ponto que chamaremos de E(t). Se for t < 0, E(t) será a extremidade final de um arco de comprimento –t, medido a partir do ponto U = (1,0), no sentido negativo de S¹ (isto é, no sentido do movimento dos ponteiros de um relógio).

Observe que, como o comprimento de S¹ é igual a 2, se tivermos t > 2 ou t < -2, para descrevermos um arco de comprimento t a partir do ponto U = (1,0) teremos de dar mais de uma volta ao longo de S¹. Em particular, se t = 2k, onde k é  um inteiro (positivo, negativo ou nulo), temos E(2k) = U. Mais geralmente, para qualquer t R, vale E(t + 2k) = E(t), quando k é um inteiro qualquer.

A função e Euler E: R S¹ consiste em envolver a reta R, pensada como um fio inextensível, sobre um circulo S¹ (imaginado como um carretel) de modo que o ponto 0R caia sobre o ponto U = (1,0) S¹.

Com auxílio da função E : R S¹, podemos definir o cosseno e o seno de um numero real t. Dado t R, seja E(t) = (x,y). Poremos cos t = x e sen t = y.

Portanto, x = cos t é a abscissa e y = sen t é a ordenada do ponto E(t). Todas as propriedades de cos t e sen t resultam desta definição.

Quando 0 < t < p, notamos que cos t = cos a e sen t = sen a, onde a é o ângulo que tem o vértice na origem e cujos lados são o semi-eixo positivo das abscissas e a semi-reta que sai da origem e passa pelo ponto E(t). Esta observação estabelece a  conexão entre o cosseno e o seno de um número, por um lado, e o cosseno e o seno de um ângulo, por outro lado.

Dado um ângulo , se descrevermos uma circunferência de raio 1 tendo como centro o vértice a e chamarmos de t o comprimento do arco que os lados de a subtendem nessa circunferência, o número t chama-se a medida de a em radianos. Assim, um ângulo reto mede /2 radianos porque seus lados subtendem numa circunferência de raio 1 um arco igual à quarta parte dessa circunferência. Podemos então dizer que se 0 < t < p então cos t = cos , onde a é um ângulo que mede t radianos.

A função de Euler E : R S¹, possibilitando considerar cos t e sen t como funções da variável real t, abriu para a Trigonometria as portas da Análise Matemática e de inúmeras aplicações importantes às Ciências Físicas. Uma propriedade fundamental dessa funções é que elas são periódicas, isto é, para todo t R, temos cos(t + 2) = cos t e sen t (t + 2) = sen t. Isto se exprime dizendo que 2 é o período das funções cos t e sen t. (É claro, pelo que vimos acima, que qualquer outro múltiplo inteiro de 2 é também um período para
satisfaz a identidade f(t + T) = f(t), logo é uma função periódica com período T. Portanto, usando as funções trigonométricas, podemos obter funções com qualquer período.

Ora, a periodicidade é uma circunstância presente em quase tudo que nos cerca, desde o movimento de um planeta em torno do sol, ou de um elétron ao redor do núcleo, às batidas do nosso coração. Periodicidade é uma idéia muito próxima de oscilação (ou vibração), outro fato ubíquo, presente nas cordas de um violino que nos enleva e na corrente alternada que usamos em nossas casas. As funções periódicas são o instrumento matemático adequado para descrever todos os fenômenos periódicos.

Dado o evidente interesse que se tem por entender fatos como os acima citados, não é difícil perceber a importância enorme das funções trigonométricas na Matemática e na Física, principalmente depois que o matemático francês Joseph Fourier mostrou (em 1822), no seu consagrado estudo sobre a transmissão do calor, que toda função pode, sob hipóteses bem razoáveis, ser obtida como soma de uma série cujos termos são senos ou cossenos (“série de Fourier”). Isto foi o ponto de partida da chamada Análise de Fourier ou, mais geralmente, da Análise Harmônica, um ramo central da Matemática contemporânea.
 

Os comentários acima visam orientar o professor de Matemática do 2.º grau em relação à importância, à posição científica e às possíveis aplicações de três tópicos que constam do seu programa de ensino. Espero que eles ajudem a responder a perguntas do tipo “para que serve?” e a fazer o professor sentir-se mais consciente da perspectiva histórica e do significado atual da matéria que está transmitindo a seus alunos.

Este parágrafo final, entretanto, é de natureza diferente, pois é mais diretamente ligado ao dia-a-dia do professor em suas aulas.

Mostraremos aqui como a função de Euler E : R S¹, definida no § 3, estabelece uma conexão entre logaritmos, números complexos e Trigonometria, efetuando uma síntese entre essas três disciplinas.

O primeiro passo nessa direção consiste em interpretar geometricamente um número complexo como um ponto do plano, em analogia com a imagem de um número real como um ponto de uma reta.

Introduzindo coordenadas cartesianas por meio de dois eixos perpendiculares, cada ponto do plano é representado como um par ordenado z = (x, y) de números reais: sua  abscissa x e sua ordenada y. Sendo o número complexo z = x + iy, em última análise (ou em princípio) um par de números reais, é natural identificar o número complexo z=x+iy com o ponto z = (x,y) do plano cartesiano.

Feito isso, as operações de adição e multiplicação de números complexos devem possuir interpretações geométricas. Para a  adição, não há dificuldade. Dados z = x + iy e w = u + iv, a soma z + w = (x + u) + i (y + v) é o quarto vértice do paralelogramo cujos 3 outros vértices são a origem 0 = 0 + i0 e  os pontos z, w.

Para interpretar geometricamente a multiplicação, vamos esperar um pouquinho. Antes, associemos  a cada número complexo z = x + iy seu módulo |z| = e seu conjunto y . Geometricamente, o número real não-negativo |z| é a distancia  do ponto z à origem, enquanto é o ponto simétrico de z em relação ao eixo das abscissas. Observemos que 
|z| = | | e que |z – w| = é a distância entre os pontos 
z = x + iy e w = u + iv.

O produto dos números complexos  z = x + iy e w = u + iv é definido como z . w=(xu–yv) + i(xv + yu). A multiplicação de números complexos é comutativa, associativa, distributiva em relação à adição e o número 1 = 1 + i ^. 0 é seu elemento neutro, isto é, 1^.z= z para todo z. (No §3,  foi usada a notação U = 1 + i ^. 0 = (1,0) para indicar este numero. Isto será feito novamente, quando for conveniente). Além disso, todo numero complexo z = x + iy ¹ 0 possui o inverso multiplicativo.

pois z . z^-1=1, como se verifica, a partir da definição. Note que z 0 significa que x² + y²   0.

O círculo unitário S¹ passa a ser visto como o conjunto dos números complexos de módulo 1. Se z S¹, isto é, |z| = 1, então z ^-1 = . Ou seja, o inverso de um número complexo de módulo 1 coincide com seu conjugado. Em particular z S¹ implica z^-1 S¹ .

A adição e a multiplicação de números complexos se relacionam com o módulo da seguinte maneira: |z + w| | z | + | w | e | z ^. w | = | z | ^. | w |.

A primeira dessas relações resulta de ser o comprimento | z + w | de um lado de um triangulo inferior à soma | z | + | w | dos comprimentos dos outros dois lados. A desigualdade 
| z + w |  | z | + | w | também pode ser demonstrada aritmeticamente mas, no momento, estamos mais interessados em provar que | z ^. w | = | z | ^. | w |.

Sejam z = x + iy e w = u + iv. Como os dos membros da igualdade proposta |z^.w| = |z| ^. |w| são não-negativos, basta provar que | z ^. w |² = | z |^{2 .} | w |², ou seja, (xu – yu)² + (xv + yu)² = 
= (x² + y²) (u² + v²), o que se verifica facilmente quando se efetuam as operações indicadas.

Segue-se, em particular, que se  | z | = 1 | w | = 1 então | z ^. w | = 1. Assim, o círculo unitário S¹ é fechado em relação às operações de multiplicação e de tomar o inverso z^–1 de um número complexo. Isto se exprime dizendo que S¹ é um grupo multiplicativo.

Outra conseqüência da igualdade | z ^. w | = | z | ^. | w | é que se c = a + ib tem módulo 1 então a distância | z – w| entre 2 pontos  quaisquer z, w do plano é igual à distância  |c^.z-c^.w | entre os pontos c^.z e c^.w. Basta notar que |c ^. z – c ^. w | = | c ^. (z – w) | = | c | ^. | z - w | = | z – w |.

Em particular, dados quaisquer números  reais, s, t como E (t) = cos t + i sen t  tem módulo 1, a distância | E(s) ^. E(t)–E(t) |=| E(s) ^. E(t)–E(t) ^. U | é igual à distância | E(s)–U |. (Lembre-se que U = 1 + i ^. 0). Assim o arco cujas extremidades são E(s) ^. E(t), E(t) e o arco cujas extremidades são E(s), U subtendem cordas iguais no círculo S¹. Logo esses arcos têm o mesmo comprimento s. Conseqüentemente, o arco que vai de U a E(s) ^. E(t) tem comprimento  s + t, isto é E(s) ^. E(t) = E(s + t).

 A identidade E(s + t) = E(s) ^. E(t), que acabamos de provar, é o fato mais importante a respeito da função de Euler E : R S¹. Se escrevermos:

E (s + t) = cos (s + t) + i ^. sen (s + t), E(s) =  cos + i ^. sen s, E(t) = cost + i ^. sen t e  efetuarmos a multiplicação de números complexos indicada no segundo membro, ela se torna cos (s + t) + i ^. sen (s + t) = (cos ^. cos t – sen s ^. sen t ) + i ^. (cos s ^. sen t + sen s ^. cos t). Igualando as partes reais e imaginária dos dois membros,  obtemos as fórmulas clássicas da Trigonometria:

cos (s + t) =  cos s ^. cos t – sen s ^. sen t,

sen (s + t) = cos s ^. sen t + sen s ^. cos t.

Reciprocamente, se tivéssemos admitido estas fórmulas como conhecidas, delas resultaria a identidade E(s + t) = E(s) ^. E(t).

Esta identidade mostra que E(t) se comporta como uma potência de expoente s, o que levou Euler a propor a definição e^it = E(t), ou seja, e^it = cos t + i ^. sen t para potência de expoente imaginário it e, mais geralmente,

 para a potência de base “e” com expoente complexo z=x+iy . Estas definições estão de pleno acordo com os desenvolvimentos em série de Taylor das funções sen x, cos x e e^x. Elas servem de base para estender a  noção de logaritmo para os números negativos e mesmo para os números complexos, conforme havíamos mostrado em número anterior desta revista, (V. RPM n.º 3, páginas 22 e 23).

A identidade E(s + t)  = E(s) ^. E(t) fornece a interpretação geométrica para a multiplicação de números complexos. Dado z 0 podemos escrever z = | z | ^. E(s), onde s é o comprimento do arco de S¹ que vai desde o ponto U = 1 + i ^. 0 até a intersecção de S¹ com a semi-reta Oz. O número real s é chamado (um) argumento do numero complexo z. (Outros argumento de z são s + 2kp, k inteiro). Analogamente, se w ¹ 0, podemos escrever w = | w | ^. E(t). Então:

z ^. w = | z | ^. | w | ^. E(s) ^. E(t) = | z | ^. | w | ^. E(s + t). Geometricamente, esta igualdade significa que z ^. w é obtido de w multiplicando-se seu módulo por | z | e dando a w uma rotação de s radianos em torno da origem. Por exemplo, como i = E(p/2), dado qualquer numero complexo w, o produto iw é obtido de w por uma rotação de 90 graus no sentido positivo ( Como | i | = 1,  os módulos de w e de iw são iguais).