Renate G. Watanabe
São Paulo, SP

Durante muitos anos ouvi dizer que não existia fórmula que desse todos os números primos e somente esses. Nunca questionei essa afirmação e costumava repeti-la para os meus alunos.

Até que um dia – lendo um livro (ver [1]) – fiquei sabendo que a afirmação é falsa. Existe, sim, uma fórmula simples que fornece todos os números primos e somente esses.

Neste artigo vou apresentar:

·     A fórmula, seguida de alguns exemplos numéricos.
·     A demonstração de que a fórmula dá todos os números primos e somente esses.

Sejam  x  e  y  números naturais,   e  .

A fórmula que dá todos os números primos e somente esses é:

.

Por exemplo:

Se    e  ,  então    e  ;

Se    e  ,  então    e  ;

Se    e  ,  então    e  ;
     ............................................................................

e, atribuindo-se a  x  e a  y  mais alguns valores, percebe-se logo que a função  f  tem uma predileção muito grande pelo número primo 2.

Mas ela fornece todos os números primos:

;  ;  ; 

; ...

Como foram achados os pares  acima? A receita é simples: para obter o número primo  p, calcule    para 

Assim, para obter  13,  fizemos

Como se vê, a fórmula existe, mas não é nada prática, uma vez que envolve cálculos com números muito grandes.
 

A demonstração baseia-se no Teorema de Wilson (ver, por exemplo, [2]), que diz:

p  é primo    e  p  é um divisor de  .

Usando esse teorema:

a)  Vamos provar que    é sempre um número primo.

 O número  a  é um número inteiro e, portanto,    é inteiro. Há dois casos:    ou  .

Neste caso, sendo  , temos   e, portanto,    é um número primo.

b)        fornece todos os números primos.

Referências Bibliográficas e Leituras Recomendadas

[1] Honsberger, R.. Mathematical Gems II. The Mathematical Association of America, 1976.

[2] Domingues, H. H. Fundamentos de Aritmética. São Paulo: Atual Editora 1991.