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A.C.
Morgado Em
um programa de televisão, o candidato é solicitado a escolher uma entre
três portas fechadas. Atrás de uma delas há um prêmio, mais
precisamente um carro, e atrás de cada uma das outras duas há um bode.
Se você está pensando que esse é um programa dominical de alguma estação
de televisão brasileira, vamos logo avisando que está enganado; trata-se
de um programa de televisão italiana. Depois
de o candidato ter escolhido a porta que deseja, mas antes de abri-la, o
animador do programa, que sabe onde estão os bodes, abre uma das portas
que não foram escolhidas e mostra que há um bode atrás dela. É claro
que ele sempre pode fazer isso, pois, se atrás da porta que o candidato
escolheu há um bode, ainda há outro bode atrás de uma das outras portas
e, se atrás da porta escolhida pelo candidato estiver o prêmio, atrás
das outras portas há bodes e, nesse caso, o animador escolhe ao acaso uma
dessas duas portas para abrir. Então,
nesse momento, o candidato está com a mão na maçaneta de uma porta
fechada, rezando para que ali esteja o carro, há uma outra porta fechada
e há uma porta aberta que mostra um bode. Aí então se faz uma crueldade
com o candidato. O animador pergunta ao candidato se ele deseja trocar a
porta que ele havia escolhido pela outra porta que ainda permanece
fechada. O
que você acha que o candidato deve fazer visando maximizar a
probabilidade de ganhar o carro? Você acha que ele deve permanecer com a
porta que escolhera inicialmente, deve trocar de porta, ou tanto faz? Esse
problema foi proposto em um curso de professores secundários de Matemática
do Estado do Rio de Janeiro, realizado no Impa, com apoio da Capes e da
Faperj, no qual o autor deste artigo participou como instrutor. Embora
convidando você a pensar no problema, vamos logo adiantando o que
aconteceu no curso. I)
Aproximadamente
metade dos professores achava que tanto fazia, pois havia duas portas
fechadas, atrás das quais havia um bode e um carro; portanto, era óbvio
que a probabilidade de o carro estar atrás da porta escolhida era igual
à probabilidade de o carro estar atrás da outra porta. II)
Os outros
professores achavam que, como no começo o candidato escolhera uma entre
três portas, a probabilidade de o carro estar atrás da porta
inicialmente escolhida era
Contra
e a favor de cada uma dessas duas opiniões, levantaram-se argumentos
respeitáveis, embora não necessariamente corretos.
Entre
os que achavam que o candidato devia mudar, uns diziam que o candidato
ganharia o prêmio mudando de porta se e somente se tivesse escolhido no
início uma Outros
diziam que se, sem abrir porta nenhuma, o animador propusesse a troca da
porta inicialmente escolhida pelas outras duas, todos achariam vantajosa a
troca e que, no fundo, era isso o que o animador estava fazendo. Ele
estava propondo a troca da porta pelas outras duas, nas quais havia,
evidentemente, pelo menos um bode. O
que acha você desses argumentos? A probabilidade de o candidato ganhar
trocando de porta é igual ou é maior do que probabilidade de ganhar sem
trocar??? Convidamos você a pensar um pouco mais. No
curso, as discussões continuaram acirradas e o mais curioso foi que os
argumentos apresentados fizeram com que muitos mudassem de opinião, mas o
número dos que mudaram do “tanto faz” para o “deve trocar” era
aproximadamente igual ao número dos que mudaram do “deve trocar” para
o “tanto faz”. Fizemos
então uma simulação. No computador, realizamos uma série de 1000
experiências, arrumando os bodes ao acaso e fazendo com que o animador,
no caso de haver dois bodes nas portas não escolhidas pelo candidato,
selecionasse ao acaso a porta para abrir. Determinamos então quantas
vezes o candidato ganharia o prêmio se adotasse a estratégia de sempre
trocar de porta. A resposta, para surpresa de metade dos professores, foi
667, o que fez com que o grupo do “deve trocar” exclamasse “não
disse?” e com que alguns do “tanto faz” não se conformassem. Para
nossa surpresa, mesmo diante do resultado da simulação alguns
professores continuaram achando que tanto fazia. Metade
dos professores foi traída pela intuição e só se convenceu depois de
fazer as contas que mostramos a seguir. Chamemos
os bodes de A
e B
e chamemos o carro de C.
A árvore de probabilidades a seguir mostra, no primeiro estágio, a
escolha inicial do candidato e, no segundo,
o bode exibido pelo animador. O terceiro estágio mostra a segunda
escolha do candidato.
Observe
que o candidato ganha trocando de porta, nos casos
(2) e (4); portanto, com Logo,
a probabilidade de ganhar trocando de porta é o dobro da probabilidade de
ganhar sem trocar. Então
a melhor estratégia é sempre trocar de porta! A
árvore mostra também que, depois de exibido o bode, a probabilidade de
ganhar o Referências Bibliográficas
[1]
Morgado, A. C. e outros. Análise
Combinatória e Probabilidade, Coleção do
Professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 1991.
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abrir a porta e o que estava em jogo era a
probabilidade 
probabilidade 
