Os reformistas do ensino falavam em modernizar, criticavam o ensino por se limitar à Matemática que terminava no ano de 1700. Ora, o irônico é que descartaram o Cálculo, cujas idéias surgiram antes desse ano de 1700, e que são o que de mais moderno começava a surgir na Matemática. E desde então o Cálculo vem desempenhando um papel de grande relevância em todo o desenvolvimento científico-tecnológico. Portanto, descartá-lo no ensino é grave, porque deixa de lado uma componente significativa e certamente a mais relevante da Matemática para a formação do aluno num contexto de ensino moderno e atual. Incorreram os reformistas naquele erro de recusar a pedra angular, aquela que seria a mais importante na construção do edifício...

O Cálculo é moderno porque traz ideias novas, diferentes do que o aluno de 2.° grau encontra nas outras coisas que aprende em Aritmética, Álgebra, Geometria, Trigonometria e Geometria Analítica. Não apenas novas, mas idéias que têm grande relevância numa variedade de aplicações científicas no mundo moderno. Ora, o objetivo principal do ensino não é outro senão preparar ò jovem para se integrar mais adequadamente à sociedade. Não se visa, com b ensino da Matemática no 2.° grau, formar especialistas no assunto. Ensina-se Matemática porque esta é uma disciplina que faz parte significativa da experiência humana ao longo dos séculos, porque ela continua sendo hoje, com intensidade ainda maior do que no passado, um instrumento eficaz e indispensável para os outros ramos do conhecimento.
 

 

O que ensinar

Mas - dirá alguém -, será mesmo possível incluir o ensino do Cálculo em nossos programas já tão alentados? Queremos mostrar que sim, que é uma questão de arrumar os programas adequadamente. Ademais, o Cálculo, desde que apresentado convenientemente, ao contrário de ser difícil, é muito gratificante pelas idéias novas que traz e pelo poder e alcance de seus métodos. É perfeitamente possível, em uma única aula, introduzir a noção de reta tangente a uma curva e a de derivada de uma função, como já tivemos oportunidade de fazer em palestras para professores de 2.° grau. Para maiores esclarecimentos remetemos o leitor ao nosso livro de Cálculo [1], especialmente a parte que vai da seção 3.4 até o final do capítulo 3.

É claro que a introdução da derivada deve ser acompanhada de várias de suas aplicações. Uma delas, tão útil e necessária nos cursos de Física, diz respeito k Cinemática. Não há dificuldades no estudo do movimento uniforme, ou seja, com velocidade constante. Mas ao passar adiante, desassistido da noção de derivada, o professor de Física faz uma ginástica complicada para apresentar o movimento uniformemente, variado. E as coisas seriam bem mais simples para ele e muito mais compreensíveis para o aluno se esse ensino fosse feito à luz da noção de derivada, interpretada como veiocidade instantânea.

Uma vez aprendido que a derivada é o declive da reta tangente, o aluno entenderá facilmente, com apelo à intuição geométrica, que uma função é constante se sua derivada é zero. Daí segue que funções que tenham a mesma derivada diferem por uma constante, ou seja, uma é igual à outra mais uma constante. Isso permite obter, facilmente a equacão da velocidade a partir do dado de que a aceleração é constante; e também a equação horária do movimento, fazendo raciocínio análogo sobre a equação da velocidade.

A derivada tem inúmeras outras utilidades para o professor de Física, na introdução de conceitos como pressão, densidade de massa, densidade de carga elétríca, etc. E claro que isto suscita o problema de bem situar o ensino da derivada, que deve preceder ou ser feito simultaneamente ao da Cinemática na Física.

Uma aplicação importante da derivada na própria Matemática, e de muita atualidade nesta época de. cálculos numéricos com auxílio de computadores eletrônicos, já foi apresentada nesta Revista; trata-se do método de Newton no cálculo numérico, em particular do cálculo de raízes n-ésimas pelo método das aproximações sucessivas; (Veja o artigo de Zanoni Carvalho da Silva, RPM 4, pp. 25 a 27.) Há interessantes aplicações da derivada a problemas de máximos e mínimos, da função exponencial a problemas de crescimento de populações, decaimento radioativo e outros mais (veja [1], seçs. 5.3 e 5.6), que cabem muito bem num curso introdutório e que têm alto poder de estímulo e gratificação, para o professor e para o aluno.

Outras aplicações que certamente estimularão o interesse e a curiosidade dos alunos requerem uma introdução à integral. Mas isto também pode ser feito de maneira intuitiva, sempre com ênfase nas idéias, nas técnicas e nas aplicações.

Cabe aqui uma observação sobre livros. Estamos citando nosso livro de Cálculo porque ele reflete nosso modo de ver o ensino dessa disciplina. Embora escrito para a universidade, muitas de suas partes podem ser adequadas ao 2.° grau, com pequenas adaptações. Outros dois livros que tratam do Cálculo e que me chamaram a atenção são o 3.° volume da obra dos Profs. Trotta, Imenes e Jakubovic [5], onde o Cálculo (diferencial) ocupa todo o capítulo 2, e o livro do Prof. Nilson José Machado [4], todo ele dedicado ao Cálculo. A meu ver, os dois estão bem escritos, fazem bastante apelo à intuição geométrica e enfatizam as idéias em apresentações claras, sem excessos de formalismo. 0 primeiro deles foi até resenhado na RPM 1, pp. 18 e 19, pela Profa. Nilza Bertoni. Infelizmente está esgotado É de lamentar, porque, juntamente com os outros dois volumes da coleção, constitui-se numa das melhores obras já escritas paia as três séries do 2.° grau. O livro do Professor Nilson cobre mais do que eu imagino deva integrar o currículo do 2.° grau. O autor vai razoavelmente longe numa apresentação bem equilibrada do Cálculo, incluindo também a integral.

 

Como introduzir Cálculo no ensino

A idéia de que os programas de Matemática são extensos e não comportariam a inclusão do Cálculo é um equívoco. Os atuais programas estão, isto sim, mal estruturados. A reforma dos anos 60 introduziu nos programas um pesado e excessivo formalismo. Não obstante as modificações que têm sido feitas nos últimos dez ou quinze anos, num esforço de melhoria do ensino, muito desse formalismo persiste em muitos livros e é responsável pelo inchaço desnecessário dos programas.

O exemplo mais evidente disso está no ensino das funções. Gasta-se muito tempo para introduzir uma extensa nomenclatura - contradominio, função inversa, função composta, função injetiva, sobrejetiva - num esforço de poucos resultados práticos. E antipedagógico introduzir conceitos que não estejam sendo solicitados no desenvolvimento da disciplina. E se o professor seguir esta salutar orientação, ele não precisará, por bom tempo, de nenhum dos conceitos mencionados. Para que o conceito de contradomínio, por exemplo? A idéia de função inversa no Cálculo só vai aparecer significativamente quando desejamos calcular a derivada de uma função que possa ser interpretada como a inversa de outra cuja derivada já conhecemos. É este o caso da função arco-seno, inversa da função seno. A função composta só vai aparecer quando necessitarmos da regra de derivação em cadeia. Ora, muito antes de se lidar com essas coisas, há outras mais interessantes a apresentar aos alunos, tópicos substantivos, como o problema de definir e determinar a reta tangente. E para fazer isso não é preciso falar em contradomínio ou função injetiva; sequer necessitamos nos preocupar com o conceito de domínio. (Veja também o livro do Prof. Nilson [4], onde a apresentação inicial do conceito de função é rápida e direta.)

Infelizmente, o ensino das funções vem sendo feito com a introdução de muitas noções novas, como já dissemos, apresentação essa que é entremeada de exercícios pouco estimulantes, como determinar domínio e contradomínio de funções dadas, achar a inversa, compor funções, verificar que certas funções são injetivas, outras não, enfim, uma série de coisas que por si sós não estimulam a curiosidade do aluno. E para agravar ainda mais essa situação, as apresentações de funções geralmente são feitas com uma insistência no conceito mais geral de função, como caso particular de uma relação. Isto é um desatino! Já o seria se a insistência fosse apenas na situação mais particular de lei de correspondência que leva elementos de um conjunto - o domínio - em elementos de outro conjunto - o contradomínio. Não há por que preocupar-se com definição tão geral quando só serão usados exemplos simples de funções numéricas, como os polinômios, as funções racionais mais elementares e alguma raiz quadrada. (Veja-se, a este respeito, a seção 3.1 do nosso livro [1], uma aula apenas para generalidades sobre funções.) Não é de estranhar, depois de todo esse desacerto, que o aluno não goste de Matemática!...

Os matemáticos só conseguiram chegar ao conceito de função, tal como o entendemos hoje, depois de um longo período de evolução do Cálculo, cerca de século e meio. As funções iam aparecendo na formulação e tratamento dos problemas; primeiro funções simples, como os polinômios ou as que deles se obtêm por operações algébricas, depois a função logarítmica, a exponencial, as funções trigonométricas, etc. Aos poucos funções mais complicadas, dadas por séries ou integrais, também apareceram naturalmente, na tentativa de resolver equações diferenciais surgidas na formulação de problemas de Mecânica, condução do calor, em Mecânica Celeste, etc. Foi ao longo dessa lenta maturação que se foi reconhecendo a importância do conceito de função. E importante justamente porque com ele era possível formular e resolver problemas, o que exigia derivar e integrar funções, desenvolvê-las em séries infinitas, etc. (A respeito dessa evolução veja [2].)

Portanto, para podermos mostrar ao aluno a importância do conceito de função, temos de ensinar-lhe os conceitos de derivada e integral e para que servem esses conceitos. A medida que vamos avançando com a apresentação de idéias, com o desenvolvimento de métodos relevantes no tratamento de problemas significativos, aí sim, vão surgindo, a cada passo, gradativamente, a necessidade de definições novas, e dessa maneira o ensino pode tornar-se interessante, o aluno se sentirá estimulado porque ente/ide a razão de ser do que está aprendendo.

Seria muito mais proveitoso que todo o tempo que hoje se gasta, no 2° grau, ensinando formalismo e longa terminologia sobre funções, que todo esse tempo fosse utilizado com o ensino das noções básicas do Cálculo e suas aplicações. Então, ao longo desse desenvolvimento, o ensino das funções seria feito no contexto apropriado, de maneira espontânea, progressiva e proveitosa.

Como se vê, o problema não é encontrar mais espaço nos atuais programas; trata-se, isto sim, de bem utilizar o espaço já disponível, com uma melhor distribuição e apresentação dos diferentes tópicos.
 

O que acabamos de escrever leva-nos naturalmente a considerar a estrutura dos atuais programas de Matemática. Hoje em dia vários tópicos desses programas são apresentados isoladamente uns dos outros, quando deveria haver maior articulação entre eles, para dar aquela tão desejada organicidade ao ensino. Esse fenômeno é conseqüência de sucessivas reformas; elas foram introduzindo mudanças, mas deixando certas coisas intocadas, as quais, depois de muito tempo, passaram a ser verdadeiros esqueletos no armário. Exemplo disto é o ensino de razões e proporções, de que tratamos em artigos publicados nas RPMs 8 e 9. Esse ensino não se modernizou e guarda resquícios de coisas muito antigas e de há muito ultrapassadas. (Veja, em particular, os comentários que fazemos nas pp. 1 e 2 da RPM 8.) 0 certo seria aproveitar o ensino de razões e proporções para dar início ao estudo de funções, enfatizando a interdependência das grandezas envolvidas e os gráficos. (O Prof. Nilson mostra como fazer isso em [4], p. 13 e seguintes.) Mais tarde, no estudo das equações lineares e da equação do 2.° grau, há oportunidade natural de voltar a enfatizar o aspecto de dependência funcional e utilizar gráficos. Por que não introduzir a noção de reta tangente e derivada no estudo do trinômio do 2.° grau, de seus extremos de máximo ou mínimo? Assim, a noção de função vai aparecendo aos poucos, em vários lugares onde é efetivamente utilizada, tecendo uma costura de harmonia entre as diferentes partes dos programas.

Outro tópico cujo tratamento já está defasado no tempo é o logaritmo. Se até há algumas décadas o logaritmo era um poderoso instrumento do cálculo numérico, isto já não é mais verdade há pelo menos vinte anos. Hoje em dia, com os computadores e as minicalculadoras, não há por que preocupar-se com tábuas de logaritmos e seu uso. Gastava-se muito tempo com isso, treinando os alunos na resolução de triângulos e em outros cálculos envolvendo tabelas de logaritmos de funções trigonométricas. Eis aí um espaço a ser preenchido com outras coisas. Não que descartemos o logaritmo. Ele continua sendo muito importante, não mais para o cálculo numérico, mas como função logarítmica. Sua inversa, a função exponencial, é talvez a função mais importante de toda a Matemática, com muitas aplicações interessantes, como já mencionamos. 0 natural, como se vê, é levar o logaritmo para o contexto do Cálculo. Definido como área sob uma hipérbole ([1], sec. 4.10; veja também [3] e p. 27 desta RPM), ele é um interessante prelúdio ao Cálculo Integral.

Como se vê, não é que falte espaço para o Cálculo nos programas. É preciso, isto sim, reestruturar esses programas, eliminar o que neles há de arcaico, introduzir novos tópicos e modernizar as apresentações, tudo isto feito de maneira que as diferentes partes fiquem bem articuladas entre.si e o conjunto apresente organicidade.

Referências Bibliográficas:

[1]  Ávila, Geraldo.   Cálculo 1.   Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos Editora, 4* edição, 1981.

[2] Ávila, Geraldo.  Evolução dos Conceitos de Função e de Integral. Revista Matemática Universitária, n.°1. Sociedade Brasileira de Matemática, 1985.

[3] Lima, Elon L. Logaritmos. Coleção Fundamentos da Matemática Elementar. Sociedade Brasileira de Matemática, 1985.

[4]  Machado, Nilson José.   Noções de Cálculo.  São Paulo, Editora Scipione, 1989.

[5]  Trotta, Imenes,  Jaknbovic.    Matemática Aplicada.    São Paulo, Editora Moderna, 1980.