A reta de equação y = x, formada pelos pontos do plano que têm abcissa igual à ordenada, chama-se a diagonal do plano. Na fig. 3, a diagonal é a reta tracejada. Se dobrarmos o plano ao longo da diagonal, de modo que o semiplano inferior à diagonal caia sobre o superior, cada ponto de coordenadas (x, y) vai coincidir com o ponto de coordenadas (y, x), chamado o seu simétrico relativamente à diagonal.

Se um ponto (, ) do plano está ao mesmo tempo na hipérbole xy = p e na reta x + y = s, então o ponto (, ) também está, pois tanto faz dizer "x + y = s  e  xy = p" como "y + x = s  e  yx = p". Portanto as soluções do problema são representadas no plano por pontos simétricos em relação à diagonal  y = x. Essa observação vem de acordo com o fato óbvio de que se a e 0 são raízes de uma equação do 2° grau então     e     também são.

Sejam e números positivos. Ponhamos  + =s  e   =p. O ramo da hipérbole  xy = p que contém o ponto (, ) intersecta a diagonal no ponto . Por outro lado a reta x+y=s, que também passa pelo ponto (, ), intersecta a diagonal no ponto(s/2, s/2). A convexidade desse ramo da hipérbole (v. fig. 4) deixa claro que , valendo a igualdade somente quando = . Isso nos permite visualizar a desigualdade entre a média geométrica e a média aritmética entre dois números.

Os pontos da hipérbole xy = p mais próximos da origem (0, 0) são aqueles onde a hipérbole intersecta a diagonal y = x. Quando p > 0, esses pontos são . Se p é negativo, eles são os pontos . Também o ponto da reta x+y= s mais próximo da origem (0, 0) é o ponto (s/2, s/2), onde essa reta intersecta a diagonal.

A interpretação gráfica das raízes da equação x² sx + p = 0 como as coordenadas dos pontos de interseção da hipérbole xy = p com a reta x + y = s nos fornece um terceiro modo de discutir a natureza e o número de raízes dessa equação.

• Consideremos inicialmente o caso em que p < 0. Se isto ocorre, os dois ramos da hipérbole estão no segundo e no quarto quadrantes (fig. 5) e acompanham os semi-eixos desses quadrantes. Logo a reta x + y = s corta ambos esses ramos. Portanto, quando p < 0, a equação x² - sx + p = 0 tem duas raízes reais. Notemos que a desigualdade s² > 4p é válida automaticamente quando p é negativo. Notemos também que se a reta corta um dos ramos da hipérbole no ponto (, ) então ela corta o outro ramo no ponto (, ). (Se o segundo ponto fosse outro, a equação teria mais de 2 raízes!) No caso em que p > 0, os ramos da hipérbole estão no primeiro e no terceiro quadrantes. A reta x + y = s pode intersectar um ou nenhum desses ramos. Para que não haja interseção é preciso que a reta esteja entre os dois ramos. Isso significa que, percorrendo a diagonal y = x a partir da origem (0,0), atinge-se a reta x + y = s no ponto (s/2, s/2) antes da hipérbole, no ponto (, ). (Isso quando s > 0. Se s < 0 caminha-se na direção do ponto ( , ).) Tem-se então s/2 < , ou seja, s²/4 < p. Invertendo o raciocínio, para que a reta e a hipérbole tenham 2 pontos em comum, deve valer a desigualdade s²/4 > p, isto é, s² > 4p. E para que a reta seja tangente à hipérbole, deve-se ter s²=4p, caso em que há apenas um ponto de interseção.

Á equação x² sx + p = 0 pode ser escrita como x(x s) + p = 0 e daí podemos tirar duas conclusões:

À primeira vista, as fórmulas acima são inteiramente inúteis porque fornecem o valor de uma raiz x da equação em função da própria raiz x procurada. Na realidade, entretanto, elas não são tão inúteis assim; até pelo contrário: elas fornecem métodos iterativos, para calcular, com a aproximação que se desejar, as raízes da equação dada.

Isso quer dizer que se começarmos com um certo x₀, candidato a raiz da equação  x²sx+p=0  e, a partir dele, construirmos a seqüência x₀, x_u x₂, ..., x_n, ..., onde x_n+1 = s - (p/x_n) para cada n IN, então, se a seqüência x_n convergir para algum limite x, este limite será uma raiz da equação  x² - sx + p = 0.

Analogamente, o algoritmo x_{n + l} = p/(s - x_n) também define uma seqüência que, se convergir para algum limite x, esse limite será uma raiz da equação dada.

Isso significa que os números x_n, construídos sucessivamente segundo uma das regras acima, são valores aproximados de uma raiz da equação (caso a seqüência convirja). Evidentemente, se a equação x² - sx + p = 0 não possuir raízes reais, os números x_n não vão convergir para limite algum. Para estudar esse ponto, nos valeremos da segunda interpretação gráfica, isto é, do modelo geométrico no qual as raízes são as coordenadas da interseção de uma reta com uma hipérbole.
 

Consideremos inicialmente o caso p > 0. Para fixar as idéias (do contrário teríamos que duplicar o número de figuras), suponhamos também s > 0. Então as raízes da equação x² - sx + p = 0 são números positivos, de modo que basta olharmos para o primeiro quadrante.

é o começo de um ziguezague, indicado na fig. 7a. Os valores x₀, x₁, x₂, ... são as abcissas dos segmentos verticais desse zigue­zague cujos pontos angulosos estão alternadamente sobre a hipérbole xy = p

e sobre a reta x + y = s. Tem-se x₁ = p/(s - x₀), x₂ = p/(s x₁), etc. Evidentemente, esse ziguezague ascendente converge para o ponto mais alto da interseção da reta com a hipérbole, logo x₀, x₁, x₂, ... são aproximações sucessivas da abcissa desse ponto, a qual é uma raiz   da equação x² sx + p = 0.   A outra raiz é   = s .

A outra raiz é obtida usando um ziguezague descendente, que começa num ponto (x₀ , p/x₀) (para a direita) e verticais (para baixo), ricocheteando ora na reta x + y = s, ora na hipérbole xy = p. As abcissas dos segmentos verticais são os pontos x₀ , x₁ x₂, ... onde x_{n + l} = s (p/x_n). Essas são aproximações sucessivas da maior raiz a da equação do segundo grau x² sx + p = 0  (vide Fig. 7b).

Obtemos assim interpretações gráficas dos algoritmos iterativos x_n+1 = p/(s - x_n) e x_n+i = s (p/x_n), quando p > 0. O primeiro converge para a menor raiz da equação x² sx + p = 0 e o segundo converge para a maior raiz.

Entenda-se bem, esses processos convergem desde que exista algum x₀ tal que nesse caso a equação não possui raiz real) ou então x² sx + p = 0 para um único valor de x, o qual deve ser necessariamente igual a s/2. O leitor está convidado a experimentar as convergem mas agora a trajetória pode ricochetear em ambos os ramos da hipérbole antes de assumir a forma definitiva de um ziguezague. Recomendamos também ao leitor aplicar esses processos a uma equação cujas raízes sejam complexas (exemplo: x² x + 1 = 0) e ver como os valores x_n se comportam.

Deve-se também notar que y = s - (p/x) se, e somente se, x = p/(s - y). Isso significa que os dois processos iterativos que estamos considerando são inversos um do outro, isto é, se um deles transforma x_n  em x_{n + i}   o outro leva x_{n + l}  de volta a x_n.

 

Quando p < 0, a equação x² sx + p = 0 tem uma raiz positiva e outra negativa. Já que uma figura vale tantas palavras, basta dizer que, na fig. 8,, os números x₀, x₁, x₂, ... são valores aproximados que convergem para a raiz negativa, enquanto que y₀, y₁, y₂, ... convergem para a raiz positiva da equação. Nota-se que tanto os x_n como os y_n são ora menores, ora maiores do que seus limites. Tem-se x_{n + l} = p/(s - x_n) e y_{n + l} = s - (p/y_n). Aqui, em vez de ziguezagues, temos "espirais retangulares" que circundam o ponto limite, aproximando-se cada vez mais dele.
A fig. 8 foi desenhada com s > 0. Quando 5 é negativo, o processo x_n+1 = s - (p/x_n) conduz à raiz negativa, enquanto que y_n+l = p/(s - y_n) fornece valores aproximados para a raiz positiva.

O leitor pode experimentar e perceber que se começarmos com x₀ negativo e aplicarmos o processo x_n+1 = s (p/x_n) no caso s > 0 obteremos uma espiral que começa afastando-se da raiz negativa, depois salta para o quarto quadrante e passa a se enrolar em torno do ponto cuja abcissa é a raizpositivadaequação.       

Esses processos não funcionam quando s = 0 (supondo ainda p < 0). De fato, nesse caso a espiral se degenera num retângulo que é percorrido repetidamente, sem se aproximar do ponto limite. Do ponto de vista aritmético, quando í = 0 os dois processos iterativos se reduzem a um único, a saber, x_{n + i} = —p/x_n. Segue-se que x_{n + 2} = x_n para todo n; logo, em vez de valores aproximados, obtemos a sequência x₀, x_1t, x₀, x₁, ... com dois valores apenas. É preciso então procurar outra saída.

Uma delas é a seguinte: quando s = 0 e p < 0, digamos p = q, q positivo, nossa equação reduz-se a x² q = 0, cujas raízes são . Em vez dela, consideraremos a equação x² 2x + 1 q = 0, cujas raízes são 1 +   e  1 . Para essa nova equação, onde s = 2, podemos usar os algoritmos acima descritos e, uma vez obtidos valores aproximados para 1 + ,   por exemplo, é só subtrair  1  e têm-se valores aproximados para .
 

Mas podemos atacar diretamente o problema. Para obter valores aproximados de a, ordenada do ponto (a, a), interseção da hipérbole xy = q (q positivo) com a reta x + y = 0, seguimos o ziguezague descendente indicado na fig. 9. Os lados desse ziguezague ora são horizontais (quando vão bater na hipérbole), ora são perpendiculares à reta x + y = 0 (quando se dirigem para essa reta).

O ponto inicial do ziguezague, toma­do sobre a reta x + y = 0, tem coordenadas (x₀, x₀), com x₀ > 0. O primeiro segmento do ziguezague acaba no ponto (q/x₀, x₀) da hipérbole. O segundo segmento acaba no ponto (x₁ x₁) da reta. Como tal segmento é perpendicular à reta x+y=0, portanto paralelo à diagonal y = x, a diferença entre as abcissas de dois pontos quaisquer desse segmento é igual à diferença entre as ordenadas. Logo

Isso nos conduz às aproximações sucessivas  x₀ , x₁, x₂, ...  etc, onde

Esse é o processo clássico de aproximação para . Tem-se lim x_n = , onde a é a raiz positiva da equação x² q = 0. A fig. 9 fornece, por conseguinte, uma interpretação geométrica para o algoritmo iterativo da raiz quadrada.

Na fig. 9 começamos com um valor x₀ maior do que a raiz de q. É interessante observar que se começarmos com um valor inicial  x₀ <   já a aproximação seguinte, x₁, será maior do que e, a partir daí, x₂, x₃, etc. serão aproximações por excesso, isto é, todas superiores a .  Isso se vê claramente na figura e confirma a observação feita pela redação da RPM 9, p. 66.

A família Bernoulli, entre 1623 e 1863, forneceu 6 gerações de matemáticos ilustres (mais de uma dúzia). Entre eles, Nicolau, um membro da terceira geração, fez a seguinte observação, em 1718.

Dada a equação do segundo grau x² sx + p = 0 constrói-se a sequência a₀ , a₁, a₂, ..., a_n , ... cujos termos iniciais a₀ e a_x são escolhidos livremente. A partir do terceiro, os termos  a_n  são definidos pelo algoritmo

a_{n + 1} = sa_n pa_n__x.

Segundo Nicolau Bernoulli, os quocientes a_{n + l}/a_n são valores aproximados de uma das raízes da equação proposta. Noutras palavras (e em termos mais precisos), se existir o limite

Isso é fácil de ver, pois da relação de recorrência  a_{n + 1} = sa_n pa_n_₁  deduz-se

Evidentemente, há casos em que o quociente a_{n + l}/a_n,  para valores muito grandes de   n, não se aproxima de número algum. Basta tomar uma equação que não possua raiz real. Mas, quando a_{n + l}/a_n convergir, seu limite será uma raiz. Qual delas?

A resposta a essa indagação está contida nas figuras 7 e 8. Com efeito, se  x_{n + 1} = a_{n +1}/a_n ,  então a relação  a_n+l = sa_n pa_n_₁  significa  x_n+l . x_n = s . x_n p, ou seja, x_n+l = s p/x_n. Portanto os quocientes de Nicolau Bernoulli são as aproximações obtidas por meio de um algoritmo que já conhecemos.

Suponhamos inicialmente p > 0. Escolhendo a₀ e a₁ de modo que o x² — sx + p = 0 assuma um valor negativo quando x = a₁/a₀ , os números x_n+1 = a_n+1/a_n convergirão para a maior raiz a da equação x² sx + p = 0. Se, entretanto, tivermos p < 0, devemos simplesmente começar com dois números positivos quaisquer a₀ e a₁. Não importa como eles sejam escolhidos, os quocientes a_{n + 1}/a_n sempre convergirão para a raiz positiva da equação  x² sx + p = 0.